II日本医科大学 2011年 数学 第II問解答・解説

独立A/P照合：MM-7574de181132-Q2

原文と共通整理 固定原文は、すべての実数 $x$ について $$\displaystyle \int_a^x f(y)\,dy-x^2-6x+b =\int_0^a (x^3+x^2y)f(y)\,dy$$ とし、$a,b$ を定数としている。問1は $a=1$ の積分値と $b$、問2は $b=0$ のときの $f,a$、問3は $f(x),b$ がただ1組存在するための $a^3$ の条件を尋ねる。しかし、原文には $f$ の連続性などの関数クラスや、関数をほとんど至る所同一で同じとする指定がない。

積分が定義される通常の可積分関数として、 $$\displaystyle M_0=\int_0^a f(y)\,dy,\qquad M_1=\int_0^a yf(y)\,dy$$ とおく。恒等式を整理すると $$\displaystyle \int_a^x f(y)\,dy=M_0x^3+(M_1+1)x^2+6x-b.\tag{1}$$ $x=0$ を代入すれば $b=M_0$ であり、$x=a$ と $M_0$ の定義から $$M_0=M_0a^3+(M_1+1)a^2+6a.\tag{2}$$ (1) の右辺は多項式である。従って、連続な $f$ を仮定すれば微分により $$f(x)=3M_0x^2+2(M_1+1)x+6\tag{3}$$ が点ごとに成り立つ。可積分な $f$ のみを仮定する場合でも、(1) の積分関数は多項式なので $f$ はこの多項式とほとんど至る所等しく、積分値は同じである。 (3) を $M_1$ の定義に用いると $$\displaystyle M_1=\frac34a^4M_0+\frac23a^3(M_1+1)+3a^2.\tag{4}$$

問1：$a=1$ (2) から $M_1=-7$。 (4) に代入すると $$\displaystyle -7=\frac34M_0+\frac23(-6)+3=\frac34M_0-1,$$ ゆえに $M_0=-8$。また $b=M_0=-8$ である。従って求める値は $$\displaystyle \int_0^1 f(y)\,dy=-8,\qquad \int_0^1 yf(y)\,dy=-7,\qquad b=-8.$$ 連続解（または可積分解のほとんど至る所の代表）は $f(x)=-24x^2-12x+6$ となる。問1が求める二つの積分値と $b$ は関数の一点変更では変わらない。

問2：$b=0$ $b=M_0$ より $M_0=0$。$a=0$ なら $M_1=0$ で、(3) の連続代表は $f(x)=2x+6$。実際、 $$\displaystyle \int_0^x(2y+6)\,dy-x^2-6x=0 =\int_0^0(x^3+x^2y)(2y+6)\,dy.$$

$a\ne0$ とすると (2) から $M_1+1=-6/a$。これを (4) に入れると $$\displaystyle M_1=\frac23a^3(M_1+1)+3a^2=-4a^2+3a^2=-a^2.$$ 従って $a^3-a-6=0=(a-2)(a^2+2a+3)$。$a^2+2a+3=(a+1)^2+2>0$ より $a=2$、$M_1=-4$ で、連続代表は $f(x)=6-6x$。直接、 $$\displaystyle \int_2^x(6-6y)\,dy-x^2-6x=-4x^2 =\int_0^2(x^3+x^2y)(6-6y)\,dy.$$ 原文に $a\ne0$ の条件はないため、問2には少なくともこの二つの異なる $a$ の場合があり、どちらも解である。連続関数なら各代表が $f$ そのものとなる。可積分関数の点ごとの解としては各代表に一点値変更等ができるので、$f$ は一意ではなく、表示式はほとんど至る所の代表である。

問3：一意性条件と原文の不足 $A=a^3$ とおくと、(2),(4) は $$\displaystyle \begin{pmatrix} 1-A&-a^2\\[2pt] -\frac34a^4&1-\frac23A \end{pmatrix} \begin{pmatrix}M_0\\M_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a^2+6a\\[2pt]\frac23A+3a^2\end{pmatrix}.$$ 行列式は $$\displaystyle \Delta=1-\frac53A-\frac1{12}A^2,$$ なので、特異となるのは $A=-10\pm4\sqrt7$ のときである。$\Delta\ne0$ ならモーメントは一意で、(3) と $b=M_0$ によって、連続関数の範囲では $(f,b)$ が一意に定まる。可積分関数をほとんど至る所同一視する場合も、その同値類が一意である。

特異な場合の整合条件は $$\displaystyle \frac{a^2}{12}q(a)=0,\qquad q(a)=a^4+18a^3+8a+36.$$ $0<A=-10+4\sqrt7<1$ なら $0<a<1$ なので $q(a)>0$。$-22<A=-10-4\sqrt7<-18$ なら $-3<a<-2$ であり、$q'(a)=2a^2(2a+27)+8>0$、$q(-2)=-108$ から $q(a)<-108$。どちらも整合条件を満たさず、連続解も可積分解の同値類も存在しない。

ただし、これで原文の点ごとの関数一意性は得られない。特異値以外では解が存在するが、その解の値を任意の一点だけ別値に変えても積分は変わらず、異なる可積分関数解ができる。特異値では解自体がない。よって原文を文字どおり点ごとの $(f,b)$ の一意性と読むと、該当する $a^3$ はない。連続性、または「ほとんど至る所同じ関数を同一視する」条件を追加した場合に限り、 $$a^3\ne-10+4\sqrt7,\qquad a^3\ne-10-4\sqrt7$$ が一意性条件となる。これは条件付き結果であり、原文にない仮定を補った無条件PASSとはしない。

照合結論 AとPは問1の数値、問2の二つの $a$ と代表関数、問3の特異値・整合性、および点ごとの関数一意性に対する原文の不足について一致している。式変形・因数分解・確認計算にV上で不一致は見つからない。問題文の正則性条件不足を解消しない限り、総体裁定はHOLDである。