8長崎大学 2015年 数学 第8問解答・解説

$e^{-x}>0$ なので、$f(x)=0$ となるのは $\sin x=0$ のときに限る。$x\ge0$ の零点を小さい順に並べると $0,\pi,2\pi,\ldots$ であるから $$x(P_n)=n\pi.$$

区間 $((n-1)\pi,n\pi)$ では $\sin x$ の符号は $(-1)^{n-1}$。したがって、曲線と隣り合う零点を結ぶ線分（$x$ 軸上）で囲まれる面積は $$\displaystyle S_n=(-1)^{n-1}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}e^{-x}\sin x\,dx.$$ 部分積分を2回行うと $$\displaystyle \int e^{-x}\sin x\,dx=-\frac12e^{-x}(\sin x+\cos x)+C.$$ 端点では $\sin(k\pi)=0$、$\cos(k\pi)=(-1)^k$ なので $$\displaystyle \int_{(n-1)\pi}^{n\pi}e^{-x}\sin x\,dx =\frac{(-1)^{n-1}}2\left(e^{-(n-1)\pi}+e^{-n\pi}\right).$$ よって $$\displaystyle S_n=\frac{1+e^{-\pi}}2e^{-(n-1)\pi}.$$

$q=e^{-\pi}$ とおくと $0<q<1$ であり、$\displaystyle S_k=\frac{1+q}{2}q^{k-1}$。等比数列の和から $$\displaystyle I_n=\sum\limits _{k=1}^nS_k=\frac{1+q}{2}\frac{1-q^n}{1-q} =\frac{1+e^{-\pi}}2\frac{1-e^{-n\pi}}{1-e^{-\pi}}.$$ $q^n\to0$ より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}.$$

零点列と各区間の正弦の符号を使い、部分積分で隣り合う零点間の面積を求める。その面積は初項 $\displaystyle \frac{1+e^{-\pi}}{2}$、公比 $e^{-\pi}$ の等比数列となるので、有限和と極限を計算する。