5長崎大学 2015年 数学 第5問解答・解説

(1) 漸化式を$$\displaystyle a_{n+1}+\frac{1}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})\left(a_n+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$と変形する。したがって$\displaystyle a_n+\frac{1}{\sqrt{2}}$は初項$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}$、公比$1+\sqrt{2}$の等比数列であるから、$$\displaystyle a_n=\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(1+\sqrt{2})^{n-1}-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$この式は$n=1$で$a_1=1$を与え、これを漸化式の左辺に代入すると$\displaystyle a_{n+1}-(1+\sqrt{2})a_n=\frac{(1+\sqrt{2})-1}{\sqrt{2}}=1$となるので、初項と漸化式を満たす。公比$1+\sqrt{2}$は1より大きく、係数$\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}$は正なので、$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=+\infty$。　 (2)$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k/n}{1+(k/n)^2}.$$関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$は$0\le x\le1$で連続である。よって右端を標本点とする区分求積法により、$$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx=\left[\frac12\ln(1+x^2)\right]_0^1=\frac12\ln 2.$$　 (3) 曲線上では$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$より$\sqrt{y}=1-\sqrt{x}$である。$x,y\geq0$だから$0\leq x\leq1$で、囲まれた領域は$0\leq y\leq(1-\sqrt{x})^2$となる。これを$x$軸のまわりに回転すると、位置$x$での断面は半径$(1-\sqrt{x})^2$の円板である。したがって$$\displaystyle V=\pi\int_0^1\left((1-\sqrt{x})^2\right)^2\,dx=\pi\int_0^1(1-\sqrt{x})^4\,dx.$$$t=\sqrt{x}$とおくと$dx=2t\,dt$で積分区間は$0\leq t\leq1$となるから、$$\displaystyle \int_0^1(1-\sqrt{x})^4\,dx=\int_0^1 2t(1-t)^4\,dt=\left[t^2-\frac83t^3+3t^4-\frac85t^5+\frac13t^6\right]_0^1=\frac1{15}.$$ゆえに$\displaystyle V=\frac{\pi}{15}$。被積分関数は区間$0\le x\le1$で非負であり、得られた体積も正である。