4長崎大学 2015年 数学 第4問解答・解説

$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$ であり、$OAB$、$OAC$ は正三角形だから、$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\frac12$ である。

(1) $M$ は $BC$ の中点なので、位置ベクトルを用いて $$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\vec b+\vec c}{2},\qquad \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}=\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a.$$

(2) 正三角形の辺の長さが 1 であることから $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=\frac12,\qquad \vec a\cdot\vec c=|\vec a||\vec c|\cos60^\circ=\frac12.$$ また、 $|\vec b+\vec c|^2=|\vec b|^2+2\vec b\cdot\vec c+|\vec c|^2=2+2\cos\theta$.

(3) $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} \overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{BC}&=\left((1-t)\vec a+\frac t2(\vec b+\vec c)\right)\cdot(\vec c-\vec b)\\ &=(1-t)(\vec a\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b)+\frac t2(\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b)\\ &=0+\frac t2(|\vec c|^2-|\vec b|^2)=0. \end{aligned}$$ よって、任意の $t$ に対して $\overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{BC}$ である。 さらに、$(1-t)\vec a+t\overrightarrow{OM}=\vec a+t(\overrightarrow{OM}-\vec a)=\vec a+t\overrightarrow{AM}$ より、 $$\displaystyle \vec a\cdot\overrightarrow{AM}=\frac{\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c}{2}-1=-\frac12,\qquad |\overrightarrow{AM}|^2=|\overrightarrow{OM}-\vec a|^2=\frac{1+\cos\theta}{2}.$$ したがって、$\overrightarrow{OH}\perp\overrightarrow{AM}$ の条件は $$\displaystyle 0=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AM}=-\frac12+t\frac{1+\cos\theta}{2}$$ となり、 $\displaystyle t=\frac{1}{1+\cos\theta}$ を得る。

(4) この $H$ は $AM$ 上にあり、$BC$ と $AM$ の両方に垂直な $OH$ は平面 ABC に垂直である。よって $h=|\overrightarrow{OH}|$ である。 $$\displaystyle \begin{aligned} h^2=|\vec a+t\overrightarrow{AM}|^2&=1+2t\left(-\frac12\right)+t^2\frac{1+\cos\theta}{2}\\ &=1-t+t^2\frac{1+\cos\theta}{2}. \end{aligned}$$

(3) の $\displaystyle t=\frac{1}{1+\cos\theta}$ を代入すると、 $$\displaystyle h^2=1-\frac{1}{1+\cos\theta}+\frac{1}{2(1+\cos\theta)}=\frac{1+2\cos\theta}{2(1+\cos\theta)}.$$ ゆえに $\displaystyle h=\sqrt{\frac{1+2\cos\theta}{2(1+\cos\theta)}}$ である。 また、 $$\displaystyle \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AM}=|\overrightarrow{OM}|^2-\vec a\cdot\overrightarrow{OM}=\frac{1+\cos\theta}{2}-\frac12=\frac{\cos\theta}{2}.$$ $\overrightarrow{OM}\perp\overrightarrow{AM}$ ならば $\cos\theta=0$ だから $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）であり、これを高さの式に代入して $\displaystyle h=\frac{1}{\sqrt2}$ を得る。