5筑波大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$\triangle PQR$ において $\displaystyle \angle RPQ = \theta, \angle PQR = \frac{\pi}{2}$ とする。点 $P_{n}(n = 1, 2, 3, \cdots)$ を次で定める。

$$\mathrm{P} _ {1} = \mathrm{P}, \mathrm{P} _ {2} = \mathrm{Q}, \mathrm{P} _ {n} \mathrm{P} _ {n + 2} = \mathrm{P} _ {n} \mathrm{P} _ {n + 1}$$

ただし，点 $P_{n+2}$ は線分 $P_{n}R$ 上にあるものとする。実数 $\theta_{n}(n=1,2,3,\cdots)$ を

$$\theta_ {n} = \angle \mathrm{P} _ {n + 1} \mathrm{P} _ {n} \mathrm{P} _ {n + 2} \quad (0 < \theta_ {n} < \pi)$$

で定める。

(1) $\theta_{2}, \theta_{3}$ を $\theta$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle \theta_{n+1} + \frac{\theta_{n}}{2} (n = 1, 2, 3, \cdots)$ は n によらない定数であることを示せ。

(3) $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\theta_{n}$ を求めよ。