筑波大学 2016年数学第4問解答・解説

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1問題

筑波大学2016年度第4問

関数 $f(x)=2\sqrt{x}e^{-x}(x\geq0)$ について次の問いに答えよ。

(1) $f'(a)=0$ , $f''(b)=0$ を満たす a, b を求め, $y=f(x)$ のグラフの概形を描け。ただし, $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}\sqrt{x}e^{-x}=0$ であることは証明なしで用いてよい。

(2) $k \geq 0$ のとき $\displaystyle V(k) = \int_{0}^{k} xe^{-2x} dx$ を k を用いて表せ。

(3) (1) で求めた a, b に対して曲線 $y = f(x)$ と x 軸および 2 直線 x = a, x = b で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle a=\frac12,\quad b=\frac{1+\sqrt2}{2}$ 。 $f$ は $\displaystyle 0<x<\frac12$ で増加、 $\displaystyle x>\frac12$ で減少し、最大値 $\displaystyle \sqrt{\frac2e}$ 。変曲点は $(b,2\sqrt b\,e^{-b})$ 。 $0<x<b$ で $f''<0$ 、 $x>b$ で $f''>0$ 。
(2)
$\displaystyle V(k)=\frac{1-(2k+1)e^{-2k}}{4}$
(3)
$\displaystyle \pi\left[\frac2e-(2+\sqrt2)e^{-(1+\sqrt2)}\right]$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle f'(x)=e^{-x}\frac{1-2x}{\sqrt{x}}$ 、 $\displaystyle f''(x)=e^{-x}\frac{4x^2-4x-1}{2x^{3/2}}$ を求める。符号から $\displaystyle a=\frac12$ で最大、正の二階導関数の零点 $\displaystyle b=\frac{1+\sqrt2}{2}$ で変曲し、問題で許された極限から右端はx軸に近づく。部分積分で $V(k)$ を求め、 $f(x)^2=4xe^{-2x}$ を円板法で積分して体積を $V(b)-V(a)$ に帰着する。

この問題で使う考え方

積の微分・合成関数の微分
導関数と二階導関数の符号による増減・凹凸
部分積分
円板法による回転体の体積

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