4香川大学 2016年 数学 第4問解答・解説

(1) 曲線上の点の $x$ 座標を $t$ とすると、その点での接線は $$y=e^t+e^t(x-t)=e^t x+e^t(1-t).$$ これが原点を通る条件は $1-t=0$。従って $t=1$ で、$\boxed{\ell:y=ex}$。

(2) $0\le x\le1$ で $g(x)=e^x-ex$ とおくと、$g(1)=0$、$g'(x)=e^x-e\le0$ より $g(x)\ge0$。したがって $$D=\{(x,y):0\le x\le1,\ ex\le y\le e^x\}.$$ 境界は $y$ 軸上の $(0,0),(0,1)$、直線 $\ell$、曲線 $C$ である。図にこれらを示して領域 $D$ を塗る。

(3) $x$ 軸回転の断面は外半径 $e^x$、内半径 $ex$ の円環なので $$\displaystyle V_x=\pi\int_0^1(e^{2x}-e^2x^2)\,dx =\pi\left[\frac{e^{2x}}2-\frac{e^2x^3}{3}\right]_0^1 =\boxed{\frac{\pi(e^2-3)}6}.$$

(4) $y>0$ で部分積分すると $$\displaystyle I=\int\log y\,dy=y\log y-\int1\,dy=\boxed{y\log y-y+C}.$$ さらに $$\displaystyle J=\int(\log y)^2\,dy=y(\log y)^2-2\int\log y\,dy =\boxed{y((\log y)^2-2\log y+2)+C}.$$

(5) $y$ 軸回転では高さ $y$ の水平断面を用いる。領域の条件は $0\le x\le1,\ ex\le y\le e^x$。$0<y\le1$ では $x\ge\log y$ は自動的に成り立つため、断面は半径 $0$ から $y/e$ までの円である。$1\le y\le e$ では断面は内半径 $\log y$、外半径 $y/e$ の輪となる。実際、$\log y\le y/e$ は $0\le x\le1$ での $e^x\ge ex$ に $x=\log y$ を代入すれば得られる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V_y&=\pi\int_0^1\left(\frac ye\right)^2dy +\pi\int_1^e\left[\left(\frac ye\right)^2-(\log y)^2\right]dy\\ &=\pi\left(\frac e3-(J(e)-J(1))\right). \end{aligned}$$ (4)の原始関数 $J(y)=y((\log y)^2-2\log y+2)$ について $J(e)=e$, $J(1)=2$。従って $$\displaystyle \boxed{V_y=\pi\left(\frac e3-e+2\right)=2\pi\left(1-\frac e3\right)=\frac{2\pi(3-e)}3}.$$

(1) 曲線上の点のx座標をtとすると、その点での接線は y=e^t+e^t(x−t)=e^t x+e^t(1−t)。原点を通る条件よりt=1だから、接線はℓ:y=ex。

(2) 0≦x≦1で差g(x)=e^x−exを考える。g(1)=0、g'(x)=e^x−e≦0なのでg(x)≧0。この範囲で直線が下、曲線が上となる。したがってD={(x,y):0≦x≦1, ex≦y≦e^x}で、境界はy軸上の(0,0),(0,1)、直線ℓ、曲線Cである。図では両曲線と境界を描き、Dを塗って示す。

(3) x軸回転の断面は外半径e^x、内半径exの円環だから V_x=π∫_0^1(e^{2x}−e^2x^2)dx=π[e^{2x}/2−e^2x^3/3]_0^1=π(e^2−3)/6。

(4) y>0として部分積分すると I=∫log y,dy=y log y−∫1,dy=y log y−y+C。 さらに J=∫(log y)^2,dy=y(log y)^2−2∫log y,dy=y((log y)^2−2log y+2)+C。

(5) y軸回転では高さyの水平断面を考える。領域の条件は0≦x≦1、ex≦y≦e^xである。0<y≦1ならx≧log yは自動的に満たされるため、断面の半径は0≦x≦y/e。1≦y≦eなら断面はlog y≦x≦y/eの輪である（log y≦y/eは、0≦x≦1でe^x≧exにx=log yを代入して得る）。よって V_y=π∫_0^1(y/e)^2dy+π∫_1^e[(y/e)^2−(log y)^2]dy =π(e/3−(J(e)−J(1))). (4)の原始関数J(y)=y((log y)^2−2log y+2)を用いるとJ(e)=e、J(1)=2。したがって V_y=π(e/3−e+2)=2π(1−e/3)=2π(3−e)/3。