香川大学 2016年数学第3問解答・解説

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1問題

香川大学2016年度第3問

平面上の三角形 $ABC$ は， $AB=2,\ AC=3,\ \angle BAC=60^{\circ}$ を満たしているとする。また，平面上の動点 $P$ に対し実数 $f(P)$ を $f(P)=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} +\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CP} +\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{AP}$ で定める。このとき，次の問に答えよ。

1. 三角形 $ABC$ の重心を $G$ とするとき， $f(G)$ の値を求めよ。

2. $\displaystyle f(P)=\frac{8}{3}$ となる点 $P$ の全体は円になることを示せ。

3. 点 $P$ が平面全体を動くとき， $f(P)$ のとりうる値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

1. $\displaystyle f(G)=-\frac{10}{3}$ 。2. 条件 $\displaystyle f(P)=\frac83$ を満たす点Pの全体は、中心G、半径 $\sqrt2$ の円。3. $f(P)$ のとりうる値の範囲は $\displaystyle [-\frac{10}{3},\infty)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文で $AB=2,\ AC=3,\ \angle BAC=60^\circ$ と定義された三つの内積和を確認。 $BC^2=7$ 、三辺平方和 $20$ 。ベクトル展開・重心 $\displaystyle g=\frac{a+b+c}{3}$ により $\displaystyle f(P)=3PG^2-\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{6}=3PG^2-\frac{10}{3}$ 。従って $\displaystyle f(G)=-\frac{10}{3}$ 、 $\displaystyle f(P)=\frac83$ は中心G半径 $\sqrt2$ の円、値域は $\displaystyle f(P)\ge-\frac{10}{3}$ 。Gからの距離が任意の $0$ 以上の値となる点Pを取れるので、この範囲のすべての値が実現する。

この問題で使う考え方

余弦定理
重心ベクトルによる平方完成
内積の恒等式

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