香川大学 2016年数学第1問解答・解説

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1問題

香川大学2016年度第1問

3つの数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $\{c_{n}\}$ を次のように定める。 $a_{1}=3,\quad b_{1}=2,\quad c_{1}=1,$ $\displaystyle a_{n+1}=\frac{b_{n}+c_{n}}{4},\qquad b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{4},\qquad c_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{4}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ このとき，次の問に答えよ。　 1. $a_{n}+b_{n}+c_{n}$ を $n$ を用いて表せ。　 2. $a_{n}-b_{n},\ a_{n}-c_{n}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。　 3. $a_{n},b_{n},c_{n}$ をそれぞれ $n$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

数列の和と差をそれぞれ $S_n=a_n+b_n+c_n$ ， $X_n=a_n-b_n$ ， $Y_n=a_n-c_n$ とおく。　漸化式を加えると $\displaystyle S_{n+1}=\frac{2S_n}{4}=\frac12S_n$ であり、 $S_1=6$ だから、 $\displaystyle S_n=6\left(\frac12\right)^{n-1}$ 。　また、 $\displaystyle X_{n+1}=\frac{(b_n+c_n)-(c_n+a_n)}4=-\frac14X_n$ 、 $X_1=1$ より、 $\displaystyle X_n=\left(-\frac14\right)^{n-1}$ 。同様に、 $\displaystyle Y_{n+1}=\frac{(b_n+c_n)-(a_n+b_n)}4=-\frac14Y_n$ 、 $Y_1=2$ より、 $\displaystyle Y_n=2\left(-\frac14\right)^{n-1}$ 。　 $S_n+X_n+Y_n=3a_n$ 、 $S_n-2X_n+Y_n=3b_n$ 、 $S_n+X_n-2Y_n=3c_n$ なので、これらに求めた $S_n,X_n,Y_n$ を代入すれば、 $\displaystyle a_n=2^{2-n}+\left(-\frac14\right)^{n-1}$ 、 $b_n=2^{2-n}$ 、 $\displaystyle c_n=2^{2-n}-\left(-\frac14\right)^{n-1}$ を得る。

この問題で使う考え方

和と差
等比数列

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