3福島県立医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

(1) $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ である。約数の個数は各素因数の指数に1を加えた数の積だから、 $$(3+1)(2+1)(1+1)=24.$$

(2) 6枚をすべて区別して並べると$6!$通りである。同じ数字の2は2枚、3は3枚あるので、これらの入れ替えを同一視すると $$\displaystyle \frac{6!}{2!3!}=60$$ 通りである。

(3)(i) 出た目の積は $$X=2^{k_2+2k_4+k_6}3^{k_3+k_6}5^{k_5}$$ と素因数分解される。したがって $$Y=(k_2+2k_4+k_6+1)(k_3+k_6+1)(k_5+1).$$

(3)(ii) $7500=2^2\cdot3\cdot5^4$ だから、 $$\displaystyle k_2+2k_4+k_6=2,\quad k_3+k_6=1,\quad k_5=4,\quad \sum\limits _{j=1}^6 k_j=6.$$ まず$k_6=0$なら$k_3=1$であり、$k_2+2k_4=2$となる。$(k_2,k_4)=(2,0)$では$k_1+\cdots+k_6\ge 7$となって不可能であるから、$(k_2,k_4)=(0,1)$だけが可能である。このとき出方は$4,3,5,5,5,5$の並べ替えで、$6!/4!=30$通り。

次に$k_6=1$なら$k_3=0$であり、$k_2+2k_4=1$より$k_2=1,k_4=0$である。このとき出方は$6,2,5,5,5,5$の並べ替えで、同じく$6!/4!=30$通り。以上より$30+30=60$通りである。

(3)(iii) $d=k_6,e=k_5,n=6-d-e$ とおく。まず$k_2=k_3=k_4=0$の場合、$Y=(d+1)^2(e+1)$ であり、$e\le 6-d$ だから、固定した$d$に対して$e=6-d$のとき最大となる。$d=0,1,2,3,4,5,6$に対する最大値は順に$7,24,45,64,75,72,49$であり、最大値は$d=4,e=2$のときの$m=75$である。

一方、$k_2+k_3+k_4>0$なら$n\ge1$である。出目1を4に置き換えると$X$の2の指数が増え、出目2を4に置き換えてもその指数が増えるので、$Y$は減らない。したがってこの場合の$Y$は、残りの$n$個がすべて3または4の場合の値以下である。$t$をそのうち4の個数とすると、その値は $$(e+1)(d+2t+1)(d+n-t+1)\quad(0\le t\le n,\ d+e+n=6,\ n\ge1).$$ 各$d=0,1,2,3,4,5$について$e,n,t$を調べた最大値は順に$45,54,63,72,70,48$であり、いずれも75未満である。よって$Y=m=75$なら$k_2+k_3+k_4=0$、すなわち$k_2=k_3=k_4=0$でなければならない。

(3)(iv) (iii)より最大値となるには$k_6=4,k_5=2,k_1=k_2=k_3=k_4=0$でなければならない。実際、このとき$Y=(4+1)^2(2+1)=75$である。この出方は$6,6,6,6,5,5$の並べ替えだから、 $$\displaystyle \frac{6!}{4!2!}=15$$ 通りである。