4日本大学 2020年 数学 第4問解答・解説

関数の定義域は $x\neq0$ である。

(1) 商の微分法を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{e^x x^2(1+e^x)-e^x\{2x(1+e^x)+x^2e^x\}} {x^4(1+e^x)^2}\\ &=\frac{e^x(x-2-2e^x)}{x^3(1+e^x)^2}. \end{aligned}$$

(2) $1/2\leq x\leq1$ では $x-2\leq-1$、また $e^x>0$ である。したがって $$x-2-2e^x<0.$$ この区間では $e^x>0$、$x^3>0$、$(1+e^x)^2>0$ でもあるので、(1)の導関数は $f'(x)<0$ を満たす。よって $f(x)$ はこの区間で単調減少である。

(3) (1)で定めた $f$ を用いると $$\displaystyle \frac{1}{1+e^x}=1-\frac{e^x}{1+e^x}=1-x^2f(x)$$ である。区間では $x^2>0$ だから、与えられた不等式は $$q\leq f(x)\leq p$$ と同値である。したがって、これが区間全体で成り立つための必要十分条件は $$\displaystyle p\geq f\left(\frac12\right),\qquad q\leq f(1)$$ である（(2)より $f$ は単調減少）。また $f(1/2)>f(1)$ なので、許される $p,q$ では $p>q$ であり、 $$\displaystyle |p-q|=p-q\geq f\left(\frac12\right)-f(1).$$ 等号は $p=f(1/2)$、$q=f(1)$ のときに成立する。よって $$\displaystyle p=f\left(\frac12\right) =\frac{e^{1/2}}{(1/2)^2(1+e^{1/2})} =\frac{4\sqrt e}{1+\sqrt e}, \qquad q=f(1)=\frac{e}{1+e}.$$