3京都府立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) $n$ は整数なので $\overline{z^n}=\bar z^{\,n}$ である。したがって $$\overline{a_n}=\overline{z^n+\bar z^{\,n}}=\bar z^{\,n}+z^n=a_n.$$ 複素数がその共役と等しいことは実数であることと同値だから、すべての $n\geq 0$ について $a_n$ は実数である。

(2) $z=1+i$ とすると、 $$z^2=2i,\qquad z^3=-2+2i,\qquad z^4=-4.$$ また $\bar z^{\,4}=\overline{z^4}=-4$ である。よって $k\geq0$、$r=0,1,2,3$ に対して $$a_{4k+r}=z^{4k+r}+\bar z^{\,4k+r}=(-4)^k(z^r+\bar z^{\,r}).$$ ここで $z^0+\bar z^{\,0}=2$、$z+\bar z=2$、$z^2+\bar z^{\,2}=2i-2i=0$、$z^3+\bar z^{\,3}=(-2+2i)+(-2-2i)=-4$ だから、 $$a_{4k}=2(-4)^k,\qquad a_{4k+1}=2(-4)^k,\qquad a_{4k+2}=0,\qquad a_{4k+3}=-4(-4)^k.$$

(3) $c=1-z^2$ とおくと、条件はすべての $k\geq0$ について $$0=a_{6k}-a_{6k+2}=c z^{6k}+\bar c\,\bar z^{\,6k}$$ となることである。$k=0$ を代入すると $$c+\bar c=2-(z^2+\bar z^{\,2})=0,$$ したがって $z^2+\bar z^{\,2}=2$ である。ここで $z^2=x+ti$（$x,t$ は実数）とおけば、$\bar z^{\,2}=x-ti$ なので $2x=2$、すなわち $x=1$ である。よって $$z^2=1+ti$$ と書ける。また $k=1$ を代入し、$\bar c=-c$ を用いると $$c(z^6-\bar z^{\,6})=0.$$ まず $c=0$ の場合は $z^2=1$、すなわち $(z-1)(z+1)=0$ より $z=1,-1$ であり、この2値は差の式をすべての $k$ で満たす。

次に $c\ne0$ とする。このとき上式から $z^6=\bar z^{\,6}$、すなわち $z^6$ は実数である。すでに $z^2=1+ti$ とおいたので、 $$z^6=(1+ti)^3=1-3t^2+i(3t-t^3)$$ である。したがって $z^6$ が実数であるための条件は $t(3-t^2)=0$ である。$c=1-z^2=-ti$ であり、今は $c\ne0$ だから $t\ne0$。よって $t=\sqrt3$ または $t=-\sqrt3$ となる。 $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3+i}{\sqrt2}\right)^2=1+\sqrt3 i,\qquad \left(\frac{\sqrt3-i}{\sqrt2}\right)^2=1-\sqrt3 i.$$ ここで $\displaystyle \alpha=\dfrac{\sqrt3+i}{\sqrt2}$、$\displaystyle \beta=\dfrac{\sqrt3-i}{\sqrt2}$ とおくと、上の計算から $\alpha^2=1+\sqrt3 i$、$\beta^2=1-\sqrt3 i$ である。よって $z^2-\alpha^2=(z-\alpha)(z+\alpha)$、$z^2-\beta^2=(z-\beta)(z+\beta)$ と因数分解できるので、この場合の解は $\displaystyle z=\pm\dfrac{\sqrt3+i}{\sqrt2}$ および $\displaystyle z=\pm\dfrac{\sqrt3-i}{\sqrt2}$ である。

最後に、列挙した値が条件を満たすことを確かめる。$z=\pm1$ では $c=0$ なので差の式は成り立つ。残る4値では $z^2=1+ti$（$t=\pm\sqrt3$）であり、$c=-ti$、$z^6=-8$ となる。したがって $\bar c=-c$、$\bar z^{\,6}=z^6=-8$ であり、任意の $k\geq0$ に対して $$c z^{6k}+\bar c\,\bar z^{\,6k}=c(-8)^k-c(-8)^k=0.$$ ゆえに条件を満たす $z$ は $$\displaystyle z=1,-1,\quad z=\pm\frac{\sqrt3+i}{\sqrt2},\quad z=\pm\frac{\sqrt3-i}{\sqrt2}$$ である。