2旭川医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

線分PQを $0\le u\le1$ の範囲で $P$ から $Q$ へ $X(u)=(a(1-u),au,b+(c-b)u)$ と表す。高さ $z=b+(c-b)u$ で回転面の半径の二乗は $r^2=a^2\{(1-u)^2+u^2\}$ だから、断面は半径 $r$ の円板である。よって $\displaystyle V=\pi\int_0^1r^2|dz/du|\,du=\pi a^2|c-b|\int_0^1\{(1-u)^2+u^2\}\,du=\frac{2\pi a^2}{3}|c-b|$. したがって $\displaystyle V(t)=\frac{2\pi}{3}t^2|\cos t-\sin t|$. $0<t<\pi/4$ では $\displaystyle V'(t)=\frac{2\pi}{3}t\{2(\cos t-\sin t)-t(\cos t+\sin t)\}$ である。$\cos t+\sin t>0$ よりこの符号は $\displaystyle h(t)=2\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}-t$ の符号と一致する。商の微分で $\displaystyle \left(\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}\right)'=-\frac{2}{(\cos t+\sin t)^2}$ なので $\displaystyle h'(t)=-\frac{4}{(\cos t+\sin t)^2}-1<0$. また $h(0)=2>0$, $h(\pi/4)=-\pi/4<0$ であり、$0<t_0<\pi/4$ を満たす零点 $t_0$ をただ1つ持つ。従って左の区間で $V$ は $t_0$ まで増加し、その後減少する。一方 $\pi/4<t<\pi/2$ では $\displaystyle V'(t)=\frac{2\pi}{3}t\{2(\sin t-\cos t)+t(\sin t+\cos t)\}>0$ なので、この区間に極大点はない。以上より極大点は $t_0$ ただ1つである。さらに $h(\pi/6)=4-2\sqrt3-\pi/6$. $(26/15)^2>3$ より $\sqrt3<26/15$ であり、与えられた $\pi<3.15=63/20$ と合わせると $h(\pi/6)>8/15-21/40=1/120>0$. $h^{\prime}(t)<0$ より $h$ は減少し、 $h(\pi/4)<0$ だから $\pi/6<t_0<\pi/4$. 最後に $\cos t-\sin t$ は $0<t<\pi/2$ で減少するため $0<\cos t_0-\sin t_0<\cos(\pi/6)-\sin(\pi/6)=(\sqrt3-1)/2<37/100$. よって $\displaystyle \frac{V(t_0)}{V(\pi/2)}=\frac{4t_0^2}{\pi^2}(\cos t_0-\sin t_0)<\frac14\cdot\frac{37}{100}=\frac{37}{400}<\frac{1}{10}$.