3山口大学 2009年 数学 第3問解答・解説

C_1:y=x^2 の導関数は y'=2x であるから、$Q(s,s^2)$ における接線は $$y-s^2=2s(x-s),\qquad y=2sx-s^2$$ である。点 $P(t,at^2+bt+c)$ がこの直線上にある条件は $$at^2+bt+c=2st-s^2$$ であり、整理して $$s^2-2ts+at^2+bt+c=0$$ を得る。

この式を $s$ の二次方程式とみると、その判別式は $$D_s=(-2t)^2-4(at^2+bt+c) =4\bigl((1-a)t^2-bt-c\bigr)$$ である。したがって異なる二つの実数解をもつ条件は $$(1-a)t^2-bt-c>0$$ である。

(3) では $P$ の $x$ 座標 $t$ は任意の実数を動く。よって $$f(t)=(1-a)t^2-bt-c$$ がすべての実数 $t$ で正であることが必要十分である。$a<1$ のときは上に凸であり、判別式が負であることが必要十分だから $$b^2+4(1-a)c<0$$ となる。ただし元の設定で $a\ne0$ である。$a=1$ のときは $f(t)=-bt-c$ なので、すべての実数 $t$ で正となるのは $b=0,\ c<0$ の場合に限る。$a>1$ では $f(t)$ は下に凸で、正の値を保てない。以上より条件は $$0\ne a<1,\quad b^2+4(1-a)c<0, \qquad\text{または}\qquad a=1,\quad b=0,\quad c<0$$ である。