1京都大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$\log$を自然対数として、$F(x)=\log x-px\ (x>0)$とおく。共有点が存在する条件は$F(x)=q$が解をもつことである。

$p\le0$の場合

$F'(x)=1/x-p>0$なので$F$は狭義に増加する。また $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}F(x)=-\infty,\qquad\lim\limits _{x\to\infty}F(x)=+\infty.$$ 連続性より、どの実数$q$に対しても$F(x)=q$となる$x>0$がある。したがって共有点をもたないことはない。

$p>0$の場合

$F'(x)=1/x-p$は$0<x<1/p$で正、$x>1/p$で負となる。従って$x=1/p$で最大値 $$F(1/p)=\log(1/p)-1=-\log p-1$$ をとる。さらに両端$x\to0+,\infty$で$F(x)\to-\infty$だから、$F(x)$ は $-\log p-1$ 以下のすべての実数値をとる。 よって$F(x)=q$が解をもたない必要十分条件は$q>-\log p-1$である。 以上より求める条件は $$\boxed{p>0,\qquad q>-1-\log p}.$$ 等号$q=-1-\log p$の場合は$x=1/p$に接点をもつため、条件には含めない。

対数の底について

原文の$\log x$には底の明記がない。上の解答では微分法における通常の記法に従い自然対数と解釈した。 もし底を$b>0,\ b\ne1$とする別の解釈なら、共有点の式は $$\log_b x=px+q\quad\text{すなわち}\quad\ln x=(p\ln b)x+q\ln b$$ となる。上の証明を係数$p\ln b,q\ln b$に適用すると、共有点をもたない必要十分条件は $$\boxed{p\ln b>0,\qquad q\ln b>-1-\ln(p\ln b)}.$$ 従って数式の採用時には自然対数という解釈を併記する。底の指定そのものが原文で確認できたとは主張しない。