6京都大学 2008年 数学 第6問解答・解説

地球の半径を$r$、中心を$O$とし、赤道面への$A,B$の正射影をそれぞれ$P,Q$とする。緯度がともに$60^\circ$であるから、 $$\displaystyle OP=OQ=r\cos60^\circ=\frac r2.$$ また、経度差は$135^\circ-75^\circ=60^\circ$なので、$\angle POQ=60^\circ$。三角形$OPQ$に余弦定理を用いると、 $$\displaystyle PQ^2=\left(\frac r2\right)^2+\left(\frac r2\right)^2-2\left(\frac r2\right)^2\cos60^\circ=\frac{r^2}{4},$$ よって$\displaystyle PQ=\frac r2$。$A,B$は赤道面と平行な同一平面上にあるので、$\displaystyle AB=PQ=\frac r2$。

$A,B$を結ぶ大円上の短い方の弧に対する中心角を$\theta^\circ$とする。$OA=OB=r$であり、$\displaystyle AB=\frac r2$だから、二等辺三角形$OAB$で弦$AB$の中点を$M$とすると、 $$\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}=\frac{AM}{OA}=\frac{AB/2}{r}=\frac14.$$ 冊子5ページの三角関数表より$\sin14.5^\circ=0.2504$。正弦は$0^\circ$から$90^\circ$まで増加し、$\displaystyle \frac14<0.2504$であるから、$\displaystyle \frac{\theta}{2}<14.5^\circ$、すなわち$\theta<29^\circ$。

$R_1$は半径$\displaystyle r\cos60^\circ=\frac r2$の緯線上を$60^\circ$進むので、 $$\displaystyle R_1=\frac{60}{360}\,2\pi\frac r2=\frac{\pi r}{6}.$$ 一方、$R_2$は半径$r$の大円上を中心角$\theta<29^\circ$だけ進むから、 $$\displaystyle R_2<\frac{29}{360}\,2\pi r=\frac{29\pi r}{180}.$$ したがって $$\displaystyle \frac{R_2}{R_1}<\frac{29\pi r/180}{\pi r/6}=\frac{29}{30}, \qquad \frac{R_1-R_2}{R_1}>\frac1{30}>\frac3{100}=3\%.$$ よって、$R_2$は$R_1$より3%以上短い。