5京都大学 2008年 数学 第5問解答・解説

点 $(0,2,0)$ は $z<y-1$ 側にある。円柱内でこの側にある部分は、各 $y$ において $1<y\le2$ の範囲だけ現れる。その位置で円柱の $x$ の幅は $2\sqrt{4-y^2}$、平面より下で $z\ge0$ の高さは $y-1$ である。よって $y$ 軸に垂直な薄い断面を積分すれば $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\int_1^2 2\sqrt{4-y^2}(y-1)\,dy\\ &=2\left(\int_1^2 y\sqrt{4-y^2}\,dy- \int_1^2\sqrt{4-y^2}\,dy\right). \end{aligned}$$ 第一の積分は置換 $u=4-y^2$ により $$\displaystyle \int_1^2 y\sqrt{4-y^2}\,dy=\sqrt3.$$ 第二の積分は原始関数 $\displaystyle \frac y2\sqrt{4-y^2}+2\arcsin(y/2)$ を用いて $$\displaystyle \int_1^2\sqrt{4-y^2}\,dy =\pi-\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac\pi3\right) =\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}.$$ 従って求める体積は $$\displaystyle \boxed{V=3\sqrt3-\frac{4\pi}{3}}.$$