1福島県立医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$6^4=1296=3^6+2\cdot3^5+3^4$ だから、$1296=1210000_{(3)}$。

(2) まず7桁未満を数える。$k$桁（$2\le k\le6$）で、先頭が1なら残りから数字1を置く桁を $k-1$ 通り選び、他の $k-2$ 桁は0または2なので $(k-1)2^{k-2}$ 個。先頭が2なら残り $k-1$ 桁から1を2個置く位置を選び、残りは0または2なので $\displaystyle \binom{k-1}{2}2^{k-3}$ 個（$k=2$は $11_{(3)}$ の1個）。$k=2,3,4,5,6$ の個数は順に $1,5,18,56,160$、計240。

7桁で $1296$ 以下なら先頭桁は1で、残り6桁は $210000_{(3)}$ 以下。先頭の1のほかに1をちょうど1個置く場合を、上限との桁比較で数える。残り6桁の先頭が0なら後5桁に1を置く位置が5通り、他4桁は0か2なので $5\cdot2^4=80$ 個。先頭が1なら上限より小さく、後5桁は0か2のみなので $2^5=32$ 個。先頭が2なら次の桁は0か1。0なら後4桁に1を置く位置が4通りで $4\cdot2^3=32$ 個。1なら上限と一致するため後4桁はすべて0に限られ、1個。したがって7桁は $80+32+33=145$ 個。先頭が2の7桁数は上限を超える。合計は $240+145=385$ 個。