2千葉大学 2013年 数学 第2問解答・解説

$\displaystyle \frac{a}{27}$,$\displaystyle \frac{31}{b}$ が既約であるから、$\gcd$(a,27)=1, $\gcd$(31,b)=1 である。また和が整数なので、$\displaystyle \frac{a}{27}$+$\displaystyle \frac{31}{b}$=$\displaystyle \frac{ab+837}{27b}$ は整数、すなわち 27b$\mid$ ab+837。ここで 837=31$\cdot$27 より、ab+837$\equiv$ ab$\equiv$0$\pmod{27}$。$\gcd$(a,27)=1 だから 27$\mid$ b であり、1$\le$ b$\le$100 より b=27k (k=1,2,3)。このとき和は $\displaystyle \frac{ak+31}{27k}$ だから 27k$\mid$ ak+31。k=2 では 2a+31 が奇数であるため 54 の倍数にならず、k=3 では 3a+31$\equiv$1$\pmod3$ なので 81 の倍数にならない。k=1 では a+31 が27の倍数であり、1$\le$ a$\le$100 から a=23,50,77。これらはすべて $\gcd$(a,27)=1 を満たす。さらに b=27 は $\gcd$(31,b)=1 で、和はそれぞれ 2,3,4 となる。よって求める組は (23,27),(50,27),(77,27)。