千葉大学 2013年数学第9問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

千葉大学2013年度第9問

$m^4$ + 14m^2 が 2m + 1 の整数倍となるような整数mをすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$m=−29, −10, −2, −1, 0, 1, 9, 28$ 。
$m\in\{-29,-10,-2,-1,0,1,9,28\}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P=m^4+14m^2$ 、 $d=2m+1$ とおく。次の恒等式が成り立つ。 $16P=d(8m^3-4m^2+114m-57)+57.$ $d$ は奇数だから $\gcd(d,16)=1$ 。したがって $d\mid P$ なら恒等式より $d\mid57$ 。逆に $d\mid57$ なら $d\mid16P$ であり、 $\gcd(d,16)=1$ から $d\mid P$ 。よって $d=\pm1,\pm3,\pm19,\pm57$ 。 $m=(d-1)/2$ に戻して $\boxed{m=-29,-10,-2,-1,0,1,9,28}.$

この問題で使う考え方

多項式の恒等式
互いに素な数を用いた整除性

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