大阪大学 2013年数学第3問解答・解説

数学と人間の活動（整数）

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1問題

大阪大学2013年度第3問

4個の整数 $n+1,\quad n^3+3,\quad n^5+5,\quad n^7+7$ がすべて素数となるような正の整数 $n$ は存在しない。これを証明せよ。（配点率20%）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$3$ で割った余りだけを調べます。余りが $0$ なら $n^3+3$ 、余りが $1$ なら $n^5+5$ が $3$ の倍数になります。余りが $2$ なら $n+1$ が $3$ の倍数です。 $n+1$ がちょうど素数 $3$ になる例外 $n=2$ では、代わりに $n^7+7=135$ が $3$ より大きい $3$ の倍数です。 $3$ より大きい $3$ の倍数は合成数なので、どの場合も4個すべてが素数にはなりません。

この問題で使う考え方

3を法とする剰余類分類
3の倍数であることによる合成数判定

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