大阪大学 2013年数学第2問解答・解説

数と式図形と方程式

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1問題

大阪大学2013年度第2問

不等式 $1 \leq \left|\,|x|-2\,\right|+\left|\,|y|-2\,\right| \leq 3$ の表す領域を $xy$ 平面上に図示せよ。（配点率20%）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

答え
$u=|x|,v=|y|$ とすると、第一象限の外側境界は頂点(0,1),(0,3),(2,5),(5,2),(3,0),(1,0)の六角形、内側の除く開領域は中心(2,2)、頂点(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)の開いたひし形。その領域を各象限へ絶対値対称に反射したもの。両境界を含む。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

u=|x|, v=|y| とおくとu,v≧0で、条件は1≦|u−2|+|v−2|≦3です。まず |u−2|+|v−2|≦3 は中心(2,2)のひし形の内部です。u,v≧0と交わると頂点は (0,1),(0,3),(2,5),(5,2),(3,0),(1,0) の六角形になります。次に |u−2|+|v−2|<1 の開いたひし形の内部を除きます。その頂点は (1,2),(2,1),(3,2),(2,3) です。式が「1以上、3以下」なので、内側ひし形と外側六角形の境界はどちらも含みます。最後にu=|x|,v=|y|を戻すため、第一象限の図形をx軸・y軸について反射し、4象限に描きます。

この問題で使う考え方

絶対値を置換して第一象限で処理
ひし形領域の境界交点
座標軸対称な反射

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