4福井大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$s=\sin\theta$、$c=\cos\theta$ とおく。直線 $OB$ は $sx-cy=0$、直線 $AC$ は $$c(x-1)+(1+s)y=0$$ を満たす。連立すると $$\displaystyle \boxed{x=1-\sin\theta},\qquad \boxed{y=\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta}}.$$ この式は $0\le\theta\le\pi/2$ の端点でも成り立つ。

$x=1-\sin\theta$ は $1$ から $0$ へ減少し、$y\ge0$ なので、囲まれた面積は $$\displaystyle \int_0^{\pi/2}y\left(-\frac{dx}{d\theta}\right)d\theta =\int_0^{\pi/2}\frac{s c^2}{1+s}\,d\theta =\int_0^{\pi/2}(\sin\theta-\sin^2\theta)\,d\theta =1-\frac\pi4.$$

(3) $s=\sin\theta$ は $0\le s\le1$ の範囲を動き、$y\ge0$ だから $y$ の最大化は $$\displaystyle h(s)=y^2=\frac{s^2(1-s)}{1+s}$$ の最大化と同じである。微分すると $$\displaystyle h'(s)=\frac{2s(1-s-s^2)}{(1+s)^2}.$$ 端点では $h=0$。区間内部の唯一の最大点は $s_0=(\sqrt5-1)/2$ で、$s_0^2=1-s_0$ および $s_0(1+s_0)=1$ を満たす。従って $$\displaystyle h(s_0)=\frac{s_0^2s_0^2}{1+s_0}=s_0^5, \qquad y_{\max}=s_0^{5/2}=(\sin\alpha)^{5/2}.$$