1三重大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) 任意の平面上の点 $P$ に対して三角不等式より $$A_1P+A_2P\ge A_1A_2$$ である。等号が成り立つのは、$P$ が線分 $A_1A_2$ 上にあるとき、かつそのときに限る。したがって、最小にする点 $P$ は線分 $A_1A_2$ 上の点である。

(2),(3)では、直線上の点の $x$ 座標を $x$ とする。直線の傾きは $a$ だから、$x$ 座標が $a_i$ の点 $A_i$ との距離は $$A_iP=\sqrt{(x-a_i)^2+\{a(x-a_i)\}^2} =\sqrt{1+a^2}\,|x-a_i|.$$ 係数 $\sqrt{1+a^2}$ は正で、$x$ によらない。よって距離の和を最小にすることは $$\displaystyle G(x)=\sum\limits _i|x-a_i|$$ を最小にすることと同じである。

(2)について、三角不等式から $$|x-a_1|+|x-a_3|\ge a_3-a_1$$ であり、等号は $a_1\le x\le a_3$ のとき成り立つ。したがって $$G(x)\ge a_3-a_1+|x-a_2|\ge a_3-a_1.$$ $x=a_2$ は $a_1<a_2<a_3$ より最初の等号条件も満たす。よって最小にする点は一意に $x=a_2$ である。

(3) $n=2m+1$ のとき、各 $i=1,\ldots,m$ について $$|x-a_i|+|x-a_{2m+2-i}| \ge a_{2m+2-i}-a_i.$$ また、中央の項 $|x-a_{m+1}|\ge0$ である。これらを足すと $G(x)$ の下限が得られ、$x=a_{m+1}$ では、各組の等号条件と中央項の等号がすべて成り立つ。中央項が0となるのはこのときに限るため、最小にする条件は $$x=a_{m+1}.$$

$n=2m$ のとき、各 $i=1,\ldots,m$ について $$|x-a_i|+|x-a_{2m+1-i}| \ge a_{2m+1-i}-a_i.$$ 各組で等号となる条件は $a_i\le x\le a_{2m+1-i}$ である。すべての組で等号となる区間の共通部分は $$a_m\le x\le a_{m+1},$$ なので、この区間のすべての $x$ で距離の和は最小になる。それ以外の $x$ では少なくとも一組で不等号が厳しくなり、最小にならない。したがって条件は $$a_m\le x\le a_{m+1}.$$