2三重大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle \int_\alpha^\beta x^2dx=(\beta-\alpha)(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)/3$、$\displaystyle \int_\alpha^\beta xdx=(\beta-\alpha)(\alpha+\beta)/2$ を使う。分母 $\beta-\alpha\ne0$ で割った値は $$\displaystyle \frac{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}{3}+\frac{(\alpha+\beta)^2}{2}-\alpha\beta =\frac{5\alpha^2+2\alpha\beta+5\beta^2}{6}.$$

(2) $\beta=\alpha+1$ では積分区間の長さが1なので、積分値は(1)と同じく $2\alpha^2+2\alpha+5/6$。与式に代入して二次項を消すと $$\displaystyle t=h(\alpha)=-\frac{\alpha^3}{3}+2\alpha+\frac56.$$ $h'(\alpha)=2-\alpha^2$ より、hは $\alpha<-\sqrt2$ で減少、$-\sqrt2<\alpha<\sqrt2$ で増加、$\alpha>\sqrt2$ で減少する。極小値・極大値は $$\displaystyle L=h(-\sqrt2)=\frac{5-8\sqrt2}{6},\qquad U=h(\sqrt2)=\frac{5+8\sqrt2}{6}.$$ さらに $\alpha\to-\infty$ でhは+∞、$\alpha\to+\infty$ で−∞。従って水平線y=tとの交点、すなわち異なる実数αの個数は、$L<t<U$ なら3、$t=L$ または $t=U$ なら2、範囲外なら1である。