2名古屋市立大学 2016年 数学 第2問解答・解説

図形の辺は正方形の辺に沿うので、四角形の各辺は水平または垂直である。したがって、図形を構成する四角形は格子に沿った長方形である。　 (1) 図1は横7マス、縦4マスであり、点Aは左下の頂点である。長方形の右上の頂点は、Aから右に1,2,$\ldots$,7マス、上に1,2,$\ldots$,4マス進んだ格子点から選べる。よって$$7\cdot4=28$$個である。　 (2) 図2の各行のマスは上から順に第1列から第7列、第1列から第7列、第1列から第7列、第2列から第7列に並んでいる。連続する行を固定し、そのすべてに共通する列が$k$個なら、その部分に含まれる長方形は、$k+1$本の縦の格子線から左右の辺を選ぶことで$\displaystyle \binom{k+1}{2}$個ある。行の範囲を1行、2行、3行、4行と分けると、共通列数はそれぞれ$(7,7,7,6)$、$(7,7,6)$、$(7,6)$、$(6)$である。したがって、$$\displaystyle 3\binom{8}{2}+\binom{7}{2}+2\binom{8}{2}+\binom{7}{2}+\binom{8}{2}+\binom{7}{2}+\binom{7}{2}=105+77+49+21=252.$$　 (3) 図3の各行のマスは上から順に第1列から第4列、第1列から第7列、第1列から第7列、第2列から第7列に並んでいる。同様に、連続する行の範囲を1行、2行、3行、4行とすると、共通列数はそれぞれ$(4,7,7,6)$、$(4,7,6)$、$(4,6)$、$(3)$である。よって、$$\displaystyle \binom{5}{2}+2\binom{8}{2}+\binom{7}{2}+\binom{5}{2}+\binom{8}{2}+\binom{7}{2}+\binom{5}{2}+\binom{7}{2}+\binom{4}{2}=87+59+31+6=183.$$各長方形は縦の行範囲によってただ1回数えられている。