4京都大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$0\le t\le\log a$ とする。断面 $y=t$ における D の線分は $z=t,\ |x|\leq\cosh t-1$ である。これを y 軸のまわりに回転すると、回転軸からの距離 $\rho=\sqrt{x^2+t^2}$ は t から $\sqrt{t^2+(\cosh t-1)^2}$ まで動く。したがって断面は内半径 t、外半径 $\sqrt{t^2+(\cosh t-1)^2}$ の環で、その面積は $\pi\{t^2+(\cosh t-1)^2-t^2\}=\pi(\cosh t-1)^2$ である。よって$$\displaystyle V=\pi\int_0^{\log a}(\cosh t-1)^2\,dt.$$ ここで $\displaystyle (\cosh t-1)^2=\frac12\cosh 2t-2\cosh t+\frac32$ だから、$$\displaystyle V=\pi\left[\frac14\sinh 2t-2\sinh t+\frac32t\right]_0^{\log a}.$$ $\displaystyle \sinh(2\log a)=\frac{a^2-a^{-2}}2,\quad\sinh(\log a)=\frac{a-a^{-1}}2$ より、$$\displaystyle V=\pi\left(\frac{a^2-a^{-2}}8-a+a^{-1}+\frac32\log a\right).$$