岡山大学 2006年数学第2問解答・解説

指数関数・対数関数極限微分法

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1問題

岡山大学2006年度第2問

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $\displaystyle f(x)=\frac{\log(x+1)}{x}$ の導関数 $f\prime(x)$ を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

(2) 実数 $a,b$ は $b>a>0$ をみたすとする。このとき、次の不等式を証明せよ。 $(a+1)^b>(b+1)^a$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合採用解答の導関数と定義域は一致する。(2) では $\displaystyle h(x)=\ln(1+x)-\frac{x}{1+x}$ に対して $\displaystyle h'(x)=\frac{x}{(1+x)^2}>0$ 、 $h(0)=0$ を示して $f'(x)<0$ を導き、比 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(1+x)}x$ の単調性から結論を得る。全て正しく、高校数学の範囲で記述されている。判定は PASS。

分類単元は指数・対数関数と微分法。方法は商の微分法、差関数の増減、対数商の単調性。テーマは単調性による冪の不等式の証明。

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