3群馬大学 2010年 数学 第3問解答・解説

解答 $a$ の係数が大きい順に並ぶ次数 $k$ のまとまりは $$ka,(k-1)a+b,\ldots,a+(k-1)b,kb$$ で，項数は $k+1$ である。次数 $k$ までの項数は $k(k+3)/2$。

(1) 次数 $12$ までに $90$ 項，次数 $13$ までに $104$ 項ある。よって $c_{100}$ は次数 $13$ のまとまりの第 $10$ 項であり， $$\boxed{c_{100}=4a+9b}.$$

(2) 次数 $k$ のまとまりの和は $k(k+1)(a+b)/2$。次数 $12$ までの和は $$\displaystyle \frac{a+b}{2}\sum\limits _{k=1}^{12}k(k+1)=364(a+b).$$ 次数 $13$ の最初の $10$ 項の和は，$j=0,\ldots,9$ として $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{9}\bigl((13-j)a+jb\bigr)=85a+45b.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{m=1}^{100}c_m=449a+409b}.$$

(3) $a=2,b=5$ のとき，次数 $k$ のまとまりの第 $j+1$ 項（$0\le j\le k$）は $2k+3j$。$k\ge2$ ではそれ以前の最大値は $5(k-1)$ である。これ以上となるには $2k+3j\ge5(k-1)$，すなわち $j\ge k-1$ が必要十分だから，残る項は $5k-3,5k$ の二つである。次数 $1$ でも同じ二項 $2,5$ が残る。よって $$d_{2k-1}=5k-3,\qquad d_{2k}=5k.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{\sum\limits _{m=1}^{2n}d_m=\sum\limits _{k=1}^n(10k-3)=5n^2+2n}.$$