2群馬大学 2010年 数学 第2問解答・解説

回転移動の行列は $$F=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$$ である。直線 $y=(\tan\beta)x$ は $x$ 軸となす角が $\beta$ の直線であるから、それに関する対称移動の行列は $$G=\begin{pmatrix}\cos2\beta&\sin2\beta\\\sin2\beta&-\cos2\beta\end{pmatrix}.$$ したがって $g\circ f$ の行列は $H=GF$ であり、積を計算すると $$H=\begin{pmatrix} \cos2\beta\cos\alpha+\sin2\beta\sin\alpha&-\cos2\beta\sin\alpha+\sin2\beta\cos\alpha\\ \sin2\beta\cos\alpha-\cos2\beta\sin\alpha&-\sin2\beta\sin\alpha-\cos2\beta\cos\alpha \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos(2\beta-\alpha)&\sin(2\beta-\alpha)\\\sin(2\beta-\alpha)&-\cos(2\beta-\alpha)\end{pmatrix}.$$

$\delta_j=2\beta-\alpha_j$ とおけば、$H_j=\begin{pmatrix}\cos\delta_j&\sin\delta_j\\\sin\delta_j&-\cos\delta_j\end{pmatrix}$ である。よって $$H_2H_1=\begin{pmatrix}\cos(\delta_2-\delta_1)&-\sin(\delta_2-\delta_1)\\\sin(\delta_2-\delta_1)&\cos(\delta_2-\delta_1)\end{pmatrix}.$$ ここで $\delta_2-\delta_1=\alpha_1-\alpha_2$ だから、これが求める積である。

$\alpha=30^\circ,\ \beta=45^\circ$ のとき $$\displaystyle F=\begin{pmatrix}\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12\\\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\end{pmatrix},\qquad G=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad FG=\begin{pmatrix}-\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\\frac{\sqrt3}{2}&\frac12\end{pmatrix}.$$ この行列を二乗すると $(FG)^2=I$ である。したがって $n$ が偶数なら $(FG)^n=I$、$n$ が奇数なら $(FG)^n=FG$ となる。 反射行列の形は、偏角 $\varphi$ の点が直線の偏角 $\beta$ に関する反射で偏角 $2\beta-\varphi$ に移ることから得られる。これを $(1,0),(0,1)$ に適用すれば、列ベクトルは $(\cos2\beta,\sin2\beta)$ と $(\sin2\beta,-\cos2\beta)$ になる。