6弘前大学 2017年 数学 第6問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\delta=\angle AOB\text{ とおくと }\cos\delta=\frac{(2,1)\cdot(2,-1)}5=\frac35.\text{ 外部割線角の定理より} \angle APB=\frac12(\widehat{QR}-\widehat{AB})=\frac12(\pi-\delta),\quad\cos\angle APB=\sin(\delta/2)=\frac1{\sqrt5}. \text{したがって}\quad\boxed{\angle APB=\arccos(1/\sqrt5)=\arctan2}\quad(P\text{ が }\mathcal C\text{ の外部}). \text{(2) }P=(x,y),\ Q=(u,v),\ R=-Q\text{ とおく。円 }\mathcal C:x^2+y^2=5\text{ 上の二点 }S,T\text{ を結ぶ弦は} (S+T)\cdot X=5+S\cdot T\text{ を満たす。AQ,BRに適用し整理すると} (x-2)u+(y-1)v=5-2x-y,\quad(x-2)u+(y+1)v=2x-y-5. \text{差と代入から }v=2x-5,\quad(x-2)(u+2y)=0.\text{ }x=2\text{ のとき }v=-1,u=\pm2.\text{ }u=2\text{ なら }Q=B,R=-B\text{ で }P=B;\ u=-2\text{ なら }Q=-A,R=A\text{ で }P=A. \text{いずれも }P\text{ は }\mathcal C\text{ 上の点}\text{ なので除く。従って }x\ne2,u=-2y.\text{ }u^2+v^2=5\text{ より} 4y^2+(2x-5)^2=5\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad(x-\tfrac52)^2+y^2=\tfrac54. \text{逆に、この円上で }A,B\text{ 以外の }P=(x,y)\text{ に対し }Q=(-2y,2x-5),R=-Q\text{ とおくと、}Q,R\text{ はともに }\mathcal C\text{ 上の点}. \text{上の弦条件に代入すると }P\text{ は直線 }AQ\text{ 上かつ直線 }BR\text{ 上の点}\text{ となる。ゆえに必要十分な軌跡は} \boxed{(x-\tfrac52)^2+y^2=\tfrac54\text{ 上から }A,B\text{ を除いた全円周}}. \text{設問(2)では }P\text{ が }\mathcal C\text{ 上にないこと}\text{ のみを課すため、円の内側と外側の両方を含む。}$$

(1) $\delta=\angle AOB$ とすると、$A\cdot B=3$、$|OA|=|OB|=\sqrt5$ より $\displaystyle \cos\delta=\frac35$。PがCの外部にある場合の2割線角の定理から、QRは直径なので遠い交点間の弧はπ、固定弦ABに対応する近い側の小弧はδ。従って$\displaystyle \theta=\angle APB=\frac{\pi-\delta}{2}$で一定。$\displaystyle \cos\theta=\sin(\delta/2)=\frac1{\sqrt5}$、$\displaystyle \sin\theta=\cos(\delta/2)=\frac2{\sqrt5}$なので$\tan\theta=2$。(2)はPがC上にないことだけが条件で、外部とは限らない。$R=-Q$、$Q=(u,v)$、$P=(x,y)$とおく。円上の二点S,Tを結ぶ弦の式$(S+T)\cdot X=5+S\cdot T$をAQ,BRに適用すると、(x−2)u+(y−1)v=5−2x−y、(x−2)u+(y+1)v=2x−y−5。差から$v=2x-5$、代入して$(x-2)(u+2y)=0$。x=2ならQ=(±2,−1)。Q=Bの場合はAQ=ABとBRの直径OBの交点P=B、Q=−Aの場合はAQの直径OAとBR=BAの交点P=Aで、いずれもPがC上にあるため除外。したがって$x\ne2,\ u=-2y$であり、$u^2+v^2=5$ から $\displaystyle (x-\frac52)^2+y^2=\frac54$を得る。逆にこの円上でA,B以外のPをとりQ=(-2y,2x−5), R=−QとすればQ,RはC上にあり、弦AQ,BRの式へ代入してPが双方の直線上にあることを確認できる。よって必要十分な軌跡はこの全円周からA,Bを除いたもの。外部条件を加えた場合だけ$x>2$の大弧に限られる。