4弘前大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) 対数の真数が正である条件は $\cos x/(1-\sin x)>0$。$1-\sin x\ge0$ であり、等号のときは分母が0となるため、これは $\cos x>0$ と同値である。この範囲では $$\displaystyle \log\frac{\cos x}{1-\sin x}=\log\cos x-\log(1-\sin x).$$ 従って $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log\frac{\cos x}{1-\sin x} =-\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1-\sin x} =-\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{1+\sin x}{\cos x} =\frac1{\cos x}=\sec x.$$

(2) $f(x)=1/x-1/x^3=(x^2-1)/x^3$（$x\ne0$）とおく。商の微分法より $$\displaystyle f'(x)=\frac{2x\cdot x^3-(x^2-1)3x^2}{x^6}=\frac{3-x^2}{x^4}, \quad f(-\sqrt3)=-c,\quad f(\sqrt3)=c,\quad c=\frac{2}{3\sqrt3}.$$ 導関数の符号と $x\to0^\pm$、$x\to\pm\infty$ の極限から、値域は次のようになる。 $$\begin{array}{c|c|c} \text{区間}&\text{増減}&\text{値域}\\\hline x<-\sqrt3&\text{減少}&-c<f(x)<0\\ -\sqrt3<x<0&\text{増加}&f(x)>-c\\ 0<x<\sqrt3&\text{増加}&f(x)<c\\ x>\sqrt3&\text{減少}&0<f(x)<c \end{array}$$ この4区間の値域と極値点を合わせて水平線 $y=a$ との交点数を数える。$a=0$ では $x^2=1$ より $x=\pm1$ の2解であり、極値 $a=\pm c$ でも接点を一つずつとして重複なく数える。結果は $$N(a)=\begin{cases} 3&0<|a|<c,\\ 2&a=-c,0,c\text{ のいずれか},\\ 1&|a|>c. \end{cases}$$

対数の真数が正となる範囲を確定してから微分する。(2)は有理関数の増減・極限から各枝の値域を調べ、水平線との交点を数える。