5弘前大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) 部分積分を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} I&=\int_0^2x\log(x+2)\,dx\\ &=\left[\frac{x^2}{2}\log(x+2)\right]_0^2-\frac12\int_0^2\frac{x^2}{x+2}\,dx. \end{aligned}$$ 多項式の割り算で $x^2/(x+2)=x-2+4/(x+2)$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} I&=2\log4-\frac12\left[\frac{x^2}{2}-2x+4\log(x+2)\right]_0^2\\ &=4\log2-\frac12(-2+4\log2)=1+2\log2. \end{aligned}$$

(2) $y=x^4-x^2=(x^2-1/2)^2-1/4$ より、囲まれた領域の高さは $-1/4\leq y\leq0$。この高さで領域に属する点は $x^4-x^2\leq y$ を満たす。$s=x^2$ とおくと $$\displaystyle s^2-s-y\leq0\quad\text{すなわち}\quad \frac{1-\sqrt{1+4y}}2\leq s\leq\frac{1+\sqrt{1+4y}}2.$$ この二つの端点は共に非負である。従って $y$ 軸回転後の水平断面は円環であり、外半径と内半径の二乗の差は $\sqrt{1+4y}$。左右の領域は回転すると同じ円環になるので、二重に数えない。体積は $$\displaystyle V=\pi\int_{-1/4}^0\sqrt{1+4y}\,dy =\frac\pi6\left[(1+4y)^{3/2}\right]_{-1/4}^0 =\frac\pi6.$$