3京都大学 2017年 数学 第3問解答・解説

$q=1$ なら $\beta=\pi/4+k\pi$ なので $\tan(\alpha+2\beta)=-p<0$。従って $q\ge2$。 加法定理を使うと $$\displaystyle \frac{1/p+2q/(q^2-1)}{1-2q/\{p(q^2-1)\}}=2, \qquad p=\frac{q^2+4q-1}{2(q^2-q-1)}.$$ 分母が0の場合は接線が定義されないため除外する。$q\ge7$ では $$2(q^2-q-1)-(q^2+4q-1)=q^2-6q-1=(q-7)(q+1)+6>0$$ より $0<p<1$ となり不可能。$q=2,3,4,5,6$ の順に $p$ は $11/2,2,31/22,22/19,59/58$。 整数は $(p,q)=(2,3)$ のみであり，代入すると $(1/2+3/4)/(1-3/8)=2$ となるので，これが求める組である。