秋田大学 2012年数学第3問解答・解説

二次関数微分・積分の考え極限積分法

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1問題

秋田大学2012年度第3問

$f(x)=\sqrt{2x-x^{2}}$ , $g(x)=xf(x)$ とする。次の問いに答えよ。

(i) $f(x)$ の定義域を求めよ。

(ii) $g(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

(iii) xy 平面上の曲線 $y = f(x)$ と曲線 $y = g(x)$ で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) domain $\quad [0,2]\quad$ . (ii) max $\quad 3\sqrt3/4\quad$ , min $\quad 0\quad$ . (iii) enclosed area $\quad 2/3\quad$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$f(x)=\sqrt{2x-x^2}=\sqrt{x(2-x)}$ の実数定義域は $0\le x\le2$ 。 $g(x)=xf(x)\ge0$ なので、 $g^2=x^3(2-x)$ を調べる。 $(g^2)'=2x^2(3-2x),$ よって最大は $\displaystyle x=\frac32$ で、 $\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt3}{4}$ 、最小は端点で $0$ 。

$f-g=(1-x)f$ かつ $f>0$ $(0<x<2)$ だから、 $0\le x\le1$ では $f$ が上、 $1\le x\le2$ では $g$ が上。さらに $f(2-x)=f(x)$ より面積は $\displaystyle 2\int_0^1(1-x)\sqrt{1-(x-1)^2}\,dx=2\int_0^1t\sqrt{1-t^2}\,dt=\frac23,$ ここで $t=1-x$ とした。

この問題で使う考え方

定義域の二次不等式
二乗して最大化
曲線間の面積・置換積分

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