2北里大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) 頂点の $y$ 座標を $h$ とする。軸が $x=1$ で、上に凸の放物線が原点を通るので $$y=h-h(x-1)^2=hx(2-x),\qquad h>0.$$ 交点 $A(a,2a\sqrt a)$ は原点以外だから $a>0$。交点条件より $ha(2-a)=2a\sqrt a$ であり、$h>0$ から $a<2$。従って $$\displaystyle h=\frac{2\sqrt a}{2-a},\qquad 0<a<2.$$

(2) $0<x<a$ では、原点近くで $hx(2-x)$ は一次の大きさ、$2x\sqrt{x}$ は $x^{3/2}$ の大きさであるから放物線が上側にある。従って $$\displaystyle S=\int_0^a\{hx(2-x)-2x\sqrt{x}\}\,dx =h\left(a^2-\frac{a^3}{3}\right)-\frac45a^{5/2}.$$ $h=2\sqrt a/(2-a)$ を代入して整理すると $$\displaystyle S=\frac{2a^{5/2}(a+3)}{15(2-a)}.$$

(3) 放物線は $x=0,2$ で $x$ 軸と交わるので $$\displaystyle T=\int_0^2 hx(2-x)\,dx=\frac{4h}{3}=\frac{8\sqrt a}{3(2-a)}.$$ $2S=T$ に上の式を代入し、正の共通因子 $4\sqrt a/[15(2-a)]$ を約して $$a^2(a+3)=10,$$ すなわち $f(a)=a^3+3a^2-10=0$ を得る。$f$ は連続で $f(0)=-10<0<f(2)=10$ だから中間値の定理により $0<a<2$ の範囲に解が少なくとも1つある。また $0\le u<v\le2$ では $$f(v)-f(u)=(v-u)(v^2+uv+u^2+3v+3u)>0,$$ よって $f$ はこの範囲の異なる値に対して同じ値をとらないので、解は高々1つ。従って条件を満たす $a$ はただ1つ存在する。