5奈良県立医科大学 2018年 数学 第5問解答・解説

正四面体の一辺の長さは $l>0$ であり、$\triangle OAB,\triangle OAC,\triangle OBC$ は正三角形である。従って$$\displaystyle |\vec a|^2=|\vec b|^2=|\vec c|^2=l^2,\qquad \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=\frac{l^2}{2}.$$

$\displaystyle \vec d=\vec c-\frac13(\vec a+\vec b)$ と置くと、$$\displaystyle \vec a\cdot\vec d=\frac{l^2}{2}-\frac13\left(l^2+\frac{l^2}{2}\right)=0,\qquad \vec b\cdot\vec d=0.$$また$$\displaystyle |\vec d|^2=l^2-\frac23\vec c\cdot(\vec a+\vec b)+\frac19|\vec a+\vec b|^2=\frac{2l^2}{3}>0.$$従って $\vec d$ は平面 $OAB$ に垂直な零でないベクトルである。$\vec a,\vec b$ のなす角は $60^\circ$ なのでこの平面を定め、求める直線の単位方向ベクトルは$$\displaystyle \vec u=\pm\frac{\vec d}{|\vec d|}=\pm\frac{3\vec c-\vec a-\vec b}{\sqrt6\,l}.$$ゆえに空欄アは $(3\vec c-\vec a-\vec b)/(\sqrt6\,l)$ である。

$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=t\vec u+\alpha\vec a+\beta\vec b$ と置く。$\vec u\perp\vec a,\vec b$ より、二つの内積条件は$$\displaystyle l^2\alpha+\frac{l^2}{2}\beta=p,\qquad \frac{l^2}{2}\alpha+l^2\beta=q.$$それぞれを $l^2$ で割り、第一式の4倍から第二式の2倍を引くと $3\alpha=(4p-2q)/l^2$。逆も同様にして $3\beta=(4q-2p)/l^2$。従って$$\displaystyle \alpha=\frac{4p-2q}{3l^2},\qquad \beta=\frac{4q-2p}{3l^2}.$$これらを代入した点はすべて二つの条件を満たす。逆に、任意の条件を満たす $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$ から $\alpha\vec a+\beta\vec b$ を引いたベクトルは $\vec a,\vec b$ の両方に垂直だから $\vec u$ の実数倍である。従って得られた式は直線上の全点を表す。