4山口大学 2003年 数学 第4問解答・解説

(1) $\angle BOC=90^\circ-30^\circ=60^\circ$ とおく。$x=OC$ とすると、三角形の面積公式から $$\displaystyle [OAC]=\frac12\,OA\cdot OC\sin30^\circ=\frac{\sqrt3}{4}x,\qquad [OBC]=\frac12\,OB\cdot OC\sin60^\circ=\sqrt3 x.$$ したがって、$\triangle OAC:\triangle OBC=1:4$ である。両三角形は底辺 $AC, CB$ が同一直線 $AB$ 上にあり、高さが共通なので $AC:CB=1:4$。内分点の公式より $$\displaystyle \overrightarrow{OC}=\frac{4\overrightarrow a+\overrightarrow b}{5}.$$

(2) $AD:DB=2:1$ だから、内分点の公式より $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}{3}.$$

(3) 線分 $AE$ 上の点 $P$ を $\displaystyle \overrightarrow{OP}=(1-s)\overrightarrow a+\frac{s}{2}\overrightarrow b (0\le s\le1)$ と表す。このとき $AP:PE=s:(1-s)$ である。$M$ は $OC$ 上にもあるから、ある $t$ について $$\displaystyle (1-s)\overrightarrow a+\frac{s}{2}\overrightarrow b=\frac{t}{5}(4\overrightarrow a+\overrightarrow b).$$ 係数を比較すると $1-s=4t/5, s/2=t/5$ であり、$t=5s/2$ を代入して $s=1/3$。よって $AM:ME=1:2$ で、$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac23\overrightarrow a+\frac16\overrightarrow b$。

また $N$ は $OD$ 上にもあるから、ある $u$ について $$\displaystyle (1-s)\overrightarrow a+\frac{s}{2}\overrightarrow b=\frac{u}{3}(\overrightarrow a+2\overrightarrow b).$$ 係数比較より $1-s=u/3, s/2=2u/3$。これを解くと $s=4/5, u=3/5$ なので、$\displaystyle \overrightarrow{ON}=\frac15\overrightarrow a+\frac25\overrightarrow b$。

$\overrightarrow a\perp\overrightarrow b$ であるから、$\alpha\overrightarrow a+\beta\overrightarrow b$ と $\gamma\overrightarrow a+\delta\overrightarrow b$ がつくる三角形の面積は、△OAB の面積に対して $|\alpha\delta-\beta\gamma|$ 倍となる。したがって $$\displaystyle \frac{[OMN]}{[OAB]}=\left|\frac23\cdot\frac25-\frac16\cdot\frac15\right|=\frac7{30},$$ ゆえに $\triangle OMN:\triangle OAB=7:30$. 面積比について、$OA$と$OB$は垂直なので通常の直交座標を $O=(0,0),A=(\sqrt3,0),B=(0,4)$ ととれる。$M,N$の実座標へ置き換えて三角形の座標面積公式を用いると、分子分母に共通な $4\sqrt3/2$ が消え、上の係数の式が得られる。