3徳島大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $c=5,\ r=(1+\sqrt5)/2$ を式に代入する。 $$\displaystyle \frac{b+\sqrt5}{a+\sqrt5}=\frac{1+\sqrt5}{2} \quad\text{したがって}\quad 2b+2\sqrt5=(a+5)+(a+1)\sqrt5.$$ $\sqrt5$ は無理数なので係数を比べ、$a=1,b=3$。また $$\displaystyle n=r-\frac1r=\frac{1+\sqrt5}{2}-\frac{\sqrt5-1}{2}=1.$$

(2) $a=-1$、$s=\sqrt c$ とする。式 $n=r-1/r$ を整理すると $$n(s-1)(b+s)=(b+s)^2-(s-1)^2.$$ $\sqrt c$ の有理部分と無理部分を比較して $$n(c-b)=b^2-1,\qquad n(b-1)=2(b+1).$$ 後者から $n=2$ は不可能。$n=1$ なら $b=-3,c=5$。$n>2$ なら $$\displaystyle b=1+\frac4{n-2}$$ なので $n-2$ は4の正の約数。候補 $n=3,4,6$ を前式に戻すと、$n=3$ で $(b,c)=(5,13)$、$n=4$ で $(3,5)$、$n=6$ では $c=5/2$ となり自然数でない。従って $$(b,c,n)=(-3,5,1),\ (5,13,3),\ (3,5,4).$$

(3) $a=-n$ とおけば $n$ は整数で $n>1$。再び $s=\sqrt c$ として整理し、無理数の係数を比べると $$n(c-nb)=b^2-n^2,\qquad n(b-n)=2(b+n).$$ 後者より $n=2$ は不可能で、$n>2$ のとき $$\displaystyle b=n+4+\frac8{n-2}.$$ 従って $n-2$ は8の正の約数で、候補は $n=3,4,6,10$。前式から順に $c=117,80,90,325/2$。最後は自然数でないので除く。いずれも残る $c$ は平方数ではない。よって $$(b,c,n)=(15,117,3),\ (12,80,4),\ (12,90,6).$$ ここでは入試で通常のように自然数を正整数とした。

式を有理化して有理部分と $\sqrt c$ の係数を比較し、整数条件から $n$ の候補を有限個に絞ります。候補を元の式に代入して $c$ が自然数かつ平方数でないものだけを残します。(3) では $n=-a>1$ も使います。