2京都大学 2005年 数学 第2問解答・解説

補足修正（整数の範囲の両側評価） $a=\log_{10}2$ とする。$0.301<a<0.3011$ から $0.0967<1-3a<0.097$ が従う。よって $$\displaystyle \frac{3.01}{0.097}<\frac{10a}{1-3a}<\frac{3.011}{0.0967}.$$ 左側は $3.01>31\cdot0.097=3.007$，右側は $3.011<32\cdot0.0967=3.0944$ より， $$\displaystyle 31<\frac{10a}{1-3a}<32.$$ 同様に $$\displaystyle \frac{6.02}{0.097}<\frac{20a}{1-3a}<\frac{6.022}{0.0967}.$$ 左側は $6.02>62\cdot0.097=6.014$，右側は $6.022<63\cdot0.0967=6.0921$ より， $$\displaystyle 62<\frac{20a}{1-3a}<63.$$ 元の不等式は $10a/(1-3a)<n<20a/(1-3a)$ だから，整数解はちょうど $32\le n\le62$，個数は $\boxed{31}$ 個である。