2東海大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) $AB$ の傾きは $\displaystyle \frac{4-2}{3-(-1)}=\frac12$ なので、直線 $AB$ は $$\displaystyle y=\frac12x+\frac52.$$ 中点は $(1,3)$。垂直二等分線の傾きは $-2$ だから $$y-3=-2(x-1),\qquad y=-2x+5.$$ したがって $c=-2,d=5$。

(2) $|AB|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$ である。$C=(p,q)$ とおけば $$(p+1)^2+(q-2)^2=20,\qquad q=-2p+5.$$ 後式を前式に代入すると $$(p+1)^2+(-2p+3)^2=20 \text{したがって} 5p^2-10p-10=0 \text{したがって} p=1\pm\sqrt3.$$ $p>0$ より $p=1+\sqrt3$。これを $q=-2p+5$ に代入して $q=3-2\sqrt3$。ゆえに $$C=(1+\sqrt3,\,3-2\sqrt3).$$

以下は上の凍結転記を前提にした解答である。ABの傾きは$\displaystyle \frac{4-2}{3-(-1)}=\frac12$なので、直線ABは y=x/2+5/2。中点は(1,3)だから、垂直二等分線の傾きは-2であり、lは y-3=-2(x-1)、すなわち y=-2x+5。したがって c=-2,d=5。正三角形の辺ABの長さは√(4^2+2^2)=2√5。C=(p,q) とすると CA^2=(p+1)^2+(q-2)^2=20。またCは垂直二等分線上にあるため q=-2p+5。代入すると (p+1)^2+(-2p+3)^2=20、よって5p^2-10p-10=0、すなわち p^2-2p-2=0。解は p=1±√3 で、p>0を満たすのは p=1+√3。q=-2p+5=3-2√3。ゆえにC=(1+√3,3-2√3)。