3東海大学 2009年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \frac{\cos\theta}{a}x+\frac{\sin\theta}{b}y=1$$ したがって $$\displaystyle A=\left(\frac a{\cos\theta},0\right),\qquad B=\left(0,\frac b{\sin\theta}\right).$$ (1)　 $\displaystyle \frac{\cos\theta}{a}x+\frac{\sin\theta}{b}y=1$。

(2)　 $$\displaystyle S=\frac12|OA||OB|=\frac{ab}{2\sin\theta\cos\theta} =\frac{ab}{\sin2\theta}.$$ $0<\theta<\pi/2$ より $\sin2\theta\le1$。最小となるのは $\theta=\pi/4$。

(3)　 $$\displaystyle L^2=\frac{a^2}{\cos^2\theta}+\frac{b^2}{\sin^2\theta} =\frac{a^2}{t}+\frac{b^2}{1-t}\ge(a+b)^2.$$ 等号は $t=a/(a+b)$ のとき。よって $\displaystyle L_{\min}=a+b$。

接線の法線ベクトルは( cosθ/a, sinθ/b )であり、Pを通る接線は $\displaystyle \frac{\cos\theta}{a}x+\frac{\sin\theta}{b}y=1$。よってA=(a/cosθ,0), B=(0,b/sinθ)。(2) S=|OA||OB|/2=ab/(2sinθ cosθ)=ab/sin(2θ)。0<θ<π/2よりsin(2θ)≦1で、等号はθ=π/4。(3) L²=a²/cos²θ+b²/sin²θ。t=cos²θとするとL²=a²/t+b²/(1−t)≧(a+b)²（左辺から(a+b)²を引くと、{a(1−t)−bt}²/{t(1−t)}≧0となる）。等号はt=a/(a+b)で実現するのでL_min=a+b。