3福島県立医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $a$ を固定し $F(x)=x-\sin(x+a)$ とおく。$F(-1)=-1-\sin(a-1)\le0$、$F(1)=1-\sin(a+1)\ge0$ なので、中間値の定理で $-1\leq x\leq1$ の範囲に解がある。解なら $|x|=|\sin(x+a)|\le1$。異なる解 $u<v$ があると仮定し $d=v-u$ とすると $0<d\le2$ で、 $$d=|\sin(v+a)-\sin(u+a)| \le2\sin(d/2)<d.$$ ここで差の公式と $0<d/2\le1<\pi/2$ における $\sin t<t$ を用いた。矛盾するので解はただ一つである。

(2) $a=n\pi$（$n=0,1,2$）では $x=0$ が解なので、一意性から $$f(0)=f(\pi)=f(2\pi)=0.$$

以後 $\theta(x)=x+f(x)$ とおくと $f(x)=\sin\theta(x)$。もし $0<x<2\pi$ で $\cos\theta=1$ なら $\sin\theta=0$、従って $f(x)=0$、$\theta=x$ となるが、$\cos x=1$ はこの区間では成り立たない。よって $\cos(x+f(x))<1$。

(4) では問題文の仮定どおり、まず $f$ が微分可能として扱う。(i) $f=\sin\theta$、$\theta'=1+f'$ より $$(1-\cos\theta)\theta'=1.$$ 上で示した不等式から $\theta'>0$。連続性と平均値の定理により $0\leq x\leq2\pi$ の範囲では、$x$ が大きくなると $\theta(x)$ は必ず大きくなる。

(ii) $\theta(0)=0,\theta(2\pi)=2\pi$ で、$f'=\cos\theta/(1-\cos\theta)$。従って $f$ は $0<\theta<\pi/2$ または $3\pi/2<\theta<2\pi$ のとき増加し、$\pi/2<\theta<3\pi/2$ のとき減少する。$x=\theta-\sin\theta$ なので、$\theta=\pi/2$ は $x=\pi/2-1,\ f=1$、$\theta=3\pi/2$ は $x=3\pi/2+1,\ f=-1$ に対応する。よって最大値は1、最小値は−1である。また $$\displaystyle f''=-\frac{\sin\theta}{(1-\cos\theta)^3}.$$ $0<\theta<\pi$ では $f''<0$（上に凸）、$\pi<\theta<2\pi$ では $f''>0$（下に凸）。$\theta=\pi$ に対応する $x=\pi,\ f=0$ が変曲点である。

(iii) $x=\theta-\sin\theta$ とおけば $dx=(1-\cos\theta)d\theta$。$f$ は $0<x<\pi$ で正、$\pi<x<2\pi$ で負なので、 $$\displaystyle \text{面積}=\int_0^\pi\sin\theta(1-\cos\theta)\,d\theta -\int_\pi^{2\pi}\sin\theta(1-\cos\theta)\,d\theta=2-(-2)=4.$$

(5) $0<x_0<2\pi$ を固定し、$\theta_0=x_0+f(x_0)$ とする。小さい $h\ne0$ に対して $$\Delta=f(x_0+h)-f(x_0),\qquad \delta=h+\Delta$$ とおく。連続性から $\delta\to0$。もし $\delta=0$ なら $\Delta=\sin(\theta_0+\delta)-\sin\theta_0=0$。このとき $h=\delta-\Delta=0$ となり、仮定 $h\ne0$ に反する。従って $\delta\ne0$。方程式より $$\Delta=\sin(\theta_0+\delta)-\sin\theta_0,\qquad h=\delta-\Delta.$$ 加法定理と $\displaystyle \lim\limits _{t\to0}\sin t/t=1$ から $$\displaystyle \frac{\Delta}{\delta} =\cos\left(\theta_0+\frac{\delta}{2}\right)\frac{\sin(\delta/2)}{\delta/2} \longrightarrow\cos\theta_0.$$ 従って $h/\delta=1-\Delta/\delta\to1-\cos\theta_0>0$（(3)）であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h =\lim\limits _{h\to0}\frac{\Delta}{\delta}\frac{\delta}{h} =\frac{\cos\theta_0}{1-\cos\theta_0}.$$ 極限が存在するので $f$ は微分可能であり、求める導関数は $$\displaystyle f'(x)=\frac{\cos(x+f(x))}{1-\cos(x+f(x))}\quad(0<x<2\pi).$$

答え

(1) 各 $a$ で解はただ一つ。(2) $f(0)=f(\pi)=f(2\pi)=0$。(3) $\cos(x+f(x))<1$。(4)(i) $x$ が大きくなると $\theta(x)$ は必ず大きくなる。(ii) 最大値1、最小値−1、変曲点 $(\pi,0)$、増減・凹凸は上記のとおり。(iii) 面積4。(5) $f'(x)=\cos(x+f(x))/(1-\cos(x+f(x)))$。