3近畿大学 2014年 数学 第3問解答・解説

(1) 線分 $OA$ 上の点は $(18t,12t)\ (0\le t\le1)$ と表せる。両座標が整数となるには $t=j/6\ (j=0,1,\ldots,6)$ であり、対応する点は $(3j,2j)$ である。したがって、両端を含む格子点は $7$ 個。

(2) 三角形 $OAB$ は $0\le x\le18,\ 0\le y\le 2x/3$ で表される。整数 $x$ を $3q,3q+1,3q+2$ に分けると、各列にある格子点数はそれぞれ $2q+1,2q+1,2q+2$ である。範囲は順に $q=0,\ldots,6$、$q=0,\ldots,5$、$q=0,\ldots,5$ だから、周を含めた個数は $$\displaystyle \sum\limits _{q=0}^{6}(2q+1)+\sum\limits _{q=0}^{5}(2q+1)+\sum\limits _{q=0}^{5}(2q+2)=49+36+42=127.$$

(3) 三角形 $OCD$ 内の格子点は $x=0,1,\ldots,n$、各 $x$ に対し $y=0,1,\ldots,n-x$ である。よって $$\displaystyle m_1=\sum\limits _{x=0}^{n}x(n-x+1) =(n+1)\sum\limits _{x=0}^{n}x-\sum\limits _{x=0}^{n}x^2 =\frac{n(n+1)(n+2)}6 =\frac{n^3+3n^2+2n}{6}.$$ $d=|x-y|\ge1$ とすると、大小の順を決めた後、小さい方の座標は $0$ から $\lfloor(n-d)/2\rfloor$ までであり、大小の順は2通りある。従って $$\displaystyle |x-y|\text{ の総和}=2\sum\limits _{d=1}^{n}d\left(\left\lfloor\frac{n-d}{2}\right\rfloor+1\right).$$ $n=2r$ のとき、偶数差 $d=2j\ (1\le j\le r)$、奇数差 $d=2j+1\ (0\le j\le r-1)$ に分けると $$\displaystyle m_2=4\sum\limits _{j=1}^{r}j(r-j+1)+2\sum\limits _{j=0}^{r-1}(2j+1)(r-j) =\frac{r(r+1)(4r+5)}3 =\frac{2n^3+9n^2+10n}{12}.$$ $n=2r+1$ のときは、偶数差 $d=2j\ (1\le j\le r)$、奇数差 $d=2j+1\ (0\le j\le r)$ に分けて $$\displaystyle m_3=4\sum\limits _{j=1}^{r}j(r-j+1)+2\sum\limits _{j=0}^{r}(2j+1)(r-j+1) =\frac{(r+1)(r+2)(4r+3)}3 =\frac{2n^3+9n^2+10n+3}{12}.$$ ここで各和は $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{r}j=r(r+1)/2$、$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{r}j^2=r(r+1)(2r+1)/6$ を用いて整理した。