1岐阜大学 2019年 数学 第1問解答・解説

全事象は4回の出目の順序つき組であり、その数は $6^4=1296$ である。 (1) $720=5\cdot144$ なので、出目の一つは $5$ であり、残り3個の積は $144$。3の因子の指数から、残りに含まれる $3$ または $6$ はちょうど2個である。2個がともに $6$ なら残りは $4$。$6,3$ なら残りは $8$、$3,3$ なら残りは $16$ となり、いずれも1個のさいころの目にならない。したがって残りは $4,6,6$。その並べ方は $3$ 通りで、$5$ の位置は $4$ 通りだから、該当する順序つき組は $4\cdot3=12$ 通り。確率は $12/1296=1/108$。 (2) $360=5\cdot72$ なので、出目の一つは $5$ であり、残り3個の積は $72$。3の因子の指数から、残りに含まれる $3$ または $6$ はちょうど2個である。これが $6,6$ なら残りは $2$、$6,3$ なら残りは $4$、$3,3$ なら残りは $8$ で不可能。よって残りの目は $6,6,2$ または $6,3,4$。前者は $3$ 通り、後者は $6$ 通りで、$5$ の位置は各場合とも $4$ 通り。したがって該当数は $4(3+6)=36$ 通り、確率は $36/1296=1/36$。 (3) 目が $3$ 以下のさいころが一つでもあれば積は高々 $3\cdot6^3=648<720$。よって積が $720$ を超えるには全ての目が $4,5,6$ でなければならない。目を小さい順に並べると、積が $720$ を超える組は $(4,6,6,6)$、$(5,5,5,6)$、$(5,5,6,6)$、$(5,6,6,6)$、$(6,6,6,6)$。これらの順列数はそれぞれ $4,4,6,4,1$ 通りで、合計 $19$ 通り。したがって確率は $19/1296$。