2岐阜大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) }\overrightarrow{AP}=(p,-5),\ \overrightarrow{AQ}=(q,-3)\text{ より、}\quad S=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}p&q\\-5&-3\end{pmatrix}\right|=\frac12|5q-3p|.\quad 0<p<q\text{ なので }5q-3p>2p>0\text{、したがって }S=\frac{5q-3p}{2}.\\[4pt]\text{(2) A で直角なら }\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=pq+15=0\text{ だが、}pq+15>0\text{ なので不可能。}\quad P\text{ で直角なら }\overrightarrow{PA}=(-p,5),\ \overrightarrow{PQ}=(q-p,2)\text{ より }-p(q-p)+10=0\text{、すなわち }p(q-p)=10.\quad Q\text{ で直角なら }\overrightarrow{QA}=(-q,3),\ \overrightarrow{QP}=(p-q,-2)\text{ より }q(q-p)-6=0\text{、すなわち }q(q-p)=6.\text{よって条件はこの二つのいずれか。}\\[4pt]\text{(3) }P\text{ が直角のとき、}q=p+\frac{10}{p}\text{ なので }S=p+\frac{25}{p}\ge 10\text{（等号 }p=5,q=7\text{）。}\quad Q\text{ が直角のとき、}p=q-\frac6q\text{ なので }S=q+\frac9q\ge 6\text{（等号 }q=3,p=1\text{）。この値は }q>\sqrt6\text{ という条件も満たす。}\quad A\text{ が直角となる場合はないため、全体の最小値は }6\text{。}$$