浜松医科大学 2023年数学第4問解答・解説

図形と計量数学と人間の活動（整数）

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1問題

浜松医科大学2023年度第4問

$\triangle ABC$ において， $BC=3,\ AC=b,\ AB=c,\ \angle ACB=\theta$ とする。 $b$ と $c$ を素数とするとき，以下の問いに答えよ。

(1) $b=3,\ c=5$ のとき， $\cos\theta$ の値を求めよ。

(2) $\cos\theta<0$ のとき， $c=b+2$ が成り立つことを示せ。

(3) $\displaystyle -\frac{5}{8}<\cos\theta<-\frac{7}{12}$ のとき， $b$ と $c$ の値の組をすべて求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) −7/18. (2) c=b+2. (3) (b,c)=(11,13),(17,19).$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\cos\theta=(9+9-25)/18=-7/18$ である。(2) $\cos\theta<0$ より $c^2>b^2+9>b^2$ であり、三角形の成立条件から $c-b<3$ である。 $b=2$ なら $13<c^2<25$ かつ $c<5$ となり、 $c=4$ に限られるが素数ではない。したがって、 $b,c$ は奇素数で $c-b=2$ である。(3) $\cos\theta=5/(6b)-2/3$ より、与えられた範囲の条件は $10<b<20$ と同値である。 $c=b+2$ を満たす素数の組は $(11,13),(17,19)$ である。

この問題で使う考え方

余弦定理
三角不等式
整数の偶奇

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