1東京医科歯科大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $x,y$ を実数として $z=x+iy$ とおく。条件(b)より $$m=z+\bar z=2x\text{ は整数},\qquad n=z\bar z=x^2+y^2\text{ は整数}.$$ 条件(a)と合わせると$0\le n\le1$なので$n=0$または$1$である。$n=0$なら$x=y=0$、すなわち$z=0$。$n=1$なら$|x|\le1$かつ$2x$は整数だから$2x=-2,-1,0,1,2$。$y^2=1-x^2$を用いると $$\displaystyle z=\pm1,\quad z=\pm\frac12\pm\frac{\sqrt3}{2}i,\quad z=\pm i$$ を得る（後者の複号は独立）。したがって全解は$0$とこの8個の単位円上の点である。複素数平面上の配置は次の通り。 $$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} \Im z\backslash\Re z&-1&-\frac12&0&\frac12&1\\\hline 1&&&\bullet&&\\ \frac{\sqrt3}{2}&&\bullet&&\bullet&\\ 0&\bullet&&\bullet&&\bullet\\ -\frac{\sqrt3}{2}&&\bullet&&\bullet&\\ -1&&&\bullet&& \end{array}$$ ここで$\Im z=0,\Re z=0$の$\bullet$が原点である。

(2) 二次方程式$z^2-pz+q=0$の2根を$\alpha,\beta$とする。条件(d)は$|\alpha|\le1,|\beta|\le1$と同値である。解と係数の関係から$\alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=q$なので、$q\text{ は整数}$かつ$|q|=|\alpha\beta|\le1$より$q=-1,0,1$に限る。

$q=0$のとき根は$0,p$であり、$|p|\le1$より$p=-1,0,1$。

$q=1$のとき$|\alpha\beta|=1$かつ各根の絶対値が1以下だから、両根の絶対値は1である。よって$|p|=|\alpha+\beta|\le2$で、整数$p$は$-2,-1,0,1,2$。これらはすべて実現する。実際、$p=\pm2$なら重根は$\pm1$、$p=-1,0,1$なら判別式$p^2-4<0$で根は共役な2数であり、その積が1だから各根の絶対値は1である。

$q=-1$のとき、根が非実数なら実係数の二次方程式の根は共役で、その積は正の数$|\alpha|^2$となるため矛盾する。したがって根は実数であり、絶対値がともに1、積が$-1$なので根は$1,-1$、従って$p=0$。

以上より、座標平面上の点は $$\begin{array}{c|ccccc} q\backslash p&-2&-1&0&1&2\\\hline 1&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\\ 0&&\bullet&\bullet&\bullet&\\ -1&&&\bullet&& \end{array}$$ に示す9点である。