3東京医科歯科大学 2003年 数学 第3問解答・解説

(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-3a\cos^2t\sin t$、$\displaystyle \frac{dy}{dt}=3b\sin^2t\cos t$ だから、θにおける接線の傾きは $\displaystyle -\frac{b}{a}\tan\theta$。点Pを通る接線に $y=0$、$x=0$をそれぞれ代入すると、$Q=(a\cos\theta,0)$、$R=(0,b\sin\theta)$。従って $\ell(\theta)=QR=\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}$。

(2) $\ell(\theta)^2=a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta$ を微分し、$\displaystyle \frac{d}{d\theta}\left(\ell(\theta)^2\right)=-2a^2\sin\theta\cos\theta+2b^2\sin\theta\cos\theta=(b^2-a^2)\sin 2\theta$。

(3) 曲線の速さは $3\sin t\cos t\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}$。これを$0$から$\displaystyle \frac{\pi}{2}$まで積分する。$u=\sin^2t$ と置けば $du=2\sin t\cos t\,dt$ なので $\displaystyle L=\frac32\int_0^1\sqrt{a^2+(b^2-a^2)u}\,du$。$a\ne b$ なら積分値は $\displaystyle \frac{b^3-a^3}{b^2-a^2}=\frac{a^2+ab+b^2}{a+b}$。$a=b$ なら積分から $\displaystyle \frac{3a}{2}$ となり、同じ式でも $\displaystyle \frac{3a}{2}$ である。