新潟大学 2003年数学第2問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

新潟大学2003年度第2問

$A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&4\end{pmatrix}$ とし，E は2次の単位行列とする。また，P と Q は2次の正方行列で $A=2P+3Q,\ P+Q=E$ をみたしているとする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) P と Q を求めよ。

(2) $P^2=P,\ Q^2=Q$ を示し，PQ と QP を求めよ。

(3) A の逆行列を $aP+bQ$ と表したとき，実数 a と b を求めよ。

(4) 自然数 n に対して， $A^n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle P=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix},\quad Q=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&2\end{pmatrix},\quad P^2=P,\space{}Q^2=Q,\space{}PQ=QP=O,\quad a=\frac12,\space{}b=\frac13,\quad A^n=2^nP+3^nQ.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$P+Q=E$ より $Q=E-P$ 。 $A=2P+3(E-P)=3E-P$ だから $P=3E-A,\ Q=A-2E$ 。よって $P=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&2\end{pmatrix}.$ $P^2=\begin{pmatrix}2&1\\-2&-1\end{pmatrix}=P,\qquad Q^2=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&2\end{pmatrix}=Q,$ $PQ=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad QP=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.$

(3) $\displaystyle A( \frac12P+\frac13Q)=(2P+3Q)(\frac12P+\frac13Q)=P+Q=E$ 。したがって $\displaystyle A^{-1}=\frac12P+\frac13Q$ で $\displaystyle a=\frac12,\quad b=\frac13.$

(4) $P^2=P,\ Q^2=Q,\ PQ=QP=O$ を使うと、帰納法で $A^n=(2P+3Q)^n=2^nP+3^nQ =\begin{pmatrix} 2^{n+1}-3^n&2^n-3^n\\ -2^{n+1}+2\cdot3^n&-2^n+2\cdot3^n \end{pmatrix}.$

この問題で使う考え方

連立行列式を代入消去してP,Qを直接求める。積を計算し、直交冪等性から逆行列・累乗を導く。

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。